ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение линеаризованной задачи из "Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций Методы решения " Выполнение условий (3.2.4) и (3.2.10) требуется только для плоского напряженного состояния индексы, соответствующие номеру приближения и номеру состояния, опущены. [c.67] При /г = О и Тзз = О эти задачи эквивалентны задачам линейной упругости с заданными массовыми силами f и поверхностными силами Q. Для плоской деформации или плоского напряженного состояния эти задачи могут быть решены методом Колосова-Мусхелишвили [65. [c.67] С учетом приведенных обозначений уравнения и граничные условия линеаризованной задачи могут быть записаны в комплексной форме следующим образом [65. [c.68] Функции F, i7, Q, T33 и константы сг , сг в соотношениях (3.2.19)-(3.2.38) известны перед решением соответствующей линеаризованной задачи. Отметим, что функции i7, Т33, S44 и 633 принимают действительные значения. [c.69] Покажем, как найти частное решение для всех рассматриваемых случаев. Будем считать, что функции F z z) H z z) 7зз( , являются аналитическими функциями аргументов z и z в области, занимаемой телом. [c.69] Подчеркнем, что при вычислении двукратных интегралов в формуле (3.2.45) переменные z z рассматриваются как независимые. [c.70] Эти выражения справедливы как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния, как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов. [c.74] В случае несжимаемого материала следует заменить G на /i в формулах (3.2.65), (3.2.67). [c.75] Для нахождения функций Фо( ) и Фо( ) из граничного условия (3.2.69) могут быть применены, например, метод степенных рядов [35, 36, 41, 65], метод интегралов типа Коши [65, 58]. Мы будем использовать для нахождения комплексных потенциалов интегралы типа Коши ). [c.76] Рассмотрим сначала нахождение комплексных потенциалов для случая одного отверстия. Если граница области, занимаемой телом, представляет собой простой замкнутый контур, то, согласно [65], можно воспользоваться конформным отображением этой области на единичный круг или на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью. Будем для определенности рассматривать случай, когда область S, занимаемая телом, бесконечна и осуществляется конформное отображение этой области на бесконечную область О, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат. Пусть аналитическая функция t ( ) ( G О, 2 = t ( ) G S) определяет конформное отображение области S на область О. Уравнение границы в преобразованной области имеет вид = 1, или = 1, или = 1/ . [c.76] Отметим, что при условии равенства нулю главного вектора внешних сил, приложенных к контуру отверстия (в частности, когда на контуре задано давление) коэффициенты при в разложениях функций Фо(С) и Фо(С) в ряд Лорана будут равны нулю 65]. Далее будем полагать, что это условие выполнено, хотя общий метод применим и в случае, когда этот вектор не равен нулю. [c.78] При этом, как и в случае конечных областей [65], достаточно вычислить конечное число (в данном случае п — 2) членов ряда. [c.78] Все уравнения этой системы комплексные, и для решения ее можно представить как систему 2(п —2) действительных линейных алгебраических уравнений. [c.79] Как показано в [65], подход, основанный на применении интегралов типа Коши, может быть использован также при решении краевых задач линеаризованной плоской теории упругости для многосвязных областей. Для таких задач может быть применен метод, известный в литературе [41, 63, 65, 135] как метод последовательных приближений Шварца. Этот метод представляет собой итерационный процесс, на каждом шаге которого решается граничная задача для односвязной области, ограниченной одним из контуров, составляющих границу Г данной многосвязной области, причем от шага к шагу номер контура меняется. В более общем виде (без привязки к методу Колосова-Мусхелишвили) метод Шварца рассмотрен в приложении IV. Сходимость этого метода для плоских задач теории упругости доказана [85. [c.80] Применение подобного итерационного подхода к решению широкого класса задач линейной упругости для тел, содержащих отверстия или включения из другого материала, рассмотрено в [81]. В этой работе анализируются не только плоские, но и пространственные задачи (для случая сферических полостей или включений). Отметим, что метод Колосова-Мусхелишвили в этой работе используется только для решения задач о взаимовлиянии круговых включений (некоторые результаты расчетов приведены в [28]). [c.82] Вернуться к основной статье