ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Одномерное потенциальное течение из "Методы граничных элементов в прикладных науках " Если мы вернемся к нашей задаче об одномерном потенциальном течении и рассмотрим область неограниченной протяженности. [c.28] Координата г в этом простейшем решении для неограниченной области равна расстоянию между точкой приложения нагрузки R и точкой наблюдения Р. Если О — начало абсолютной системы координат (рис. 2.5), то г = х — В неограниченных системах можно определить не функцию р(г), а лишь ее отклонения от некоторого фиксированного значения, например от р го) = 0 в данном случае мы выбрали Гд = 1. Для систем неограниченной протяженности, играюш,их основную роль во всех МГЭ, мы будем пользоваться символом ф для обозначения источников вообш,е (как на рис. 2.5), сохраняя символ яр для источников известной интенсивности, сосредоточенных в заданных внутренних точках системы. [c.28] Точно так же F P, R)= F x, Q есть функция, умножение которой на (f R) = ф( ) дает скорость потока в точке Р V r) = = V P ) = V x). [c.28] Использование этой функции не только гарантирует (как это и должно быть) изменение знака V r) вместе со знаком г, но приводит также к необходимости различать г = г, где 8 О, и тем самым позволяет автоматически учесть скачкообразное изменение V r) при г- -О (т. е. позволяет оперировать с многозначной при г = О функцией V(r)). Введение [г в уравнение (2.5а), напротив, обеспечивает неизменность знака р(г) (т. е. сохраняет естественную однозначность р(0)). [c.29] Здесь использована смешанная форма обозначений. Различие между символами ф и Ф, применяемыми нами для обозначения источников, состоит в том, что i] относится к источникам заданной, вполне определенной интенсивности, как указывалось выше, тогда как ф сохраняется исключительно для фиктивных источников (здесь это ф(Я) и ф(С )), приложенных к границам фиктивной системы. [c.30] Прежде чем подробно описывать этот шаг, необходимо отметить, что из системы четырех уравнений (2.7) мы использовали лишь два уравнения (2.7а, г), соответствующие двум заданным граничным значениям р и V. (В корректно поставленной задаче для линейного дифференциального уравнения второго порядка мы всегда будем иметь те или иные параметры р, V или их линейные комбинации заданными в каждой точке границы.) Мы намеренно выбрали в качестве нашего примера более сложную задачу со смешанными граничными условиями при р, заданном в точке Q, и V, заданном в точке Р. Если бы мы обратились к задаче, подобной представленной на рис. 2.1, с заданными значениями p Q) и р Р), то получили бы уравнения, сходные с (2.8), потребовав эквивалентности p(Q) с p (Q) и р Р) с р Р) в уравнениях (2.7а, б). Мы увидим, что даже в более сложных задачах из системы, очень похожей на (2.7), фактически всегда можно выбрать нужные уравнения, образующие разрешимую систему (2.8), из которой можно найти соответствующие значения ф. [c.31] Это физически оправданное требование [2] будет обсуждаться более подробно ниже. Пока же мы заметим, что это условие эквивалентно требованию обращения в нуль суммы интенсивностей всех приложенных источников ф(Я), 9(Q) и гр. Так как данные, по которым могут быть измерены потенциалы, весьма неопределенны (как, например, выбор I в уравнении (2.5а)), мы можем привести их к некоторой константе С (заранее не известной), одинаковой во всей неограниченной области, точно так же, как величины, используемые в качестве гидравлических потенциалов, или значения потенциала земли при рассмотрении электрических потенциалов могут отсчитываться от любого выбранного нами уровня. [c.32] 9) оказываются достаточно тривиальными и могут быть выполнены сразу же после их получения. [c.33] Соотношения (2,10), очевидно, совпадают с предыдущим решением той же самой задачи в виде (2.4). [c.33] Перед тем как перейти к следуюш,им иллюстративным примерам, напомним элементарные действия, составляющие рассмотренную Выше процедуру построения решения, так как они не могли не утонуть В сопровождающих их объяснениях. Эти действия представляют собой последовательность из пяти шагов.. [c.33] Необходимо отметить, что изложенный выше алгоритм может быть без изменений применен к задачам о двумерных и трехмерных потенциальных течениях, причем в трехмерном случае необходимость в третьем шаге отпадает. [c.33] Вернуться к основной статье