ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Альтернативный подход из "Методы граничных элементов в прикладных науках " В настояш,ее время наиболее популярным, безусловно, является иной подход, состоящий в возвращении к характерному для физики разбиению тела на элементы конечных размеров чем больше эти элементы, тем лучше с точки зрения минимизации числа получающихся уравнений. Поведение каждого элемента приближенно воспроизводит поведение малой области тела, которую он представляет, но условие полной непрерывности между элементами налагается только в общем смысле (обычно в узлах), а не на всем протяжении границ раздела (т. е. такие методы, в сущности, аппроксимируют тело и задают способ его составления). [c.13] Метод конечных элементов [2] воплощает этот подход и в последние годы достиг такого уровня развития, что многие часто сомневаются — может ли появиться хоть когда-нибудь равносильный метод, не говоря уже о лучшем. Диапазон применимости методов конечных элементов, их эффективность и сравнительная легкость, с которой могут быть учтены реальные граничные условия, действительно делают их весьма серьезными соперниками для любого конкурирующего метода. Самая слабая его сторона состоит в том, чго он, во-первых, по идее представляет собой схему дискретизации всего тела, а это неизбежно ведет к очень большому количеству конечных элементов, особенно в трехмерных задачах с удаленными границами, в пределах каждой из которых не все неизвестные переменные изменяются непрерывно, и, во-вторых, часто приводит к нереальным разрывам значений физических величин между смежными элементами [2]. [c.13] Очевидным альтернативным подходом к системе дифференциальных уравнений была бы попытка аналитически проинтегрировать их каким-нибудь способом или перед переходом к какой-либо схеме дискретизации, или перед введением какой-либо аппроксимации. Конечно, мы пытаемся проинтегрировать дифференциальные уравнения, чтобы найти решение, какой бы метод мы ни использовали, но сущность методов граничных интегральных уравнений состоит в преобразовании диф( ренциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений в качестве первого шага решения задачи. Интуитивно можно ожидать, что такая операция (если она окажется успешной) даст систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области. [c.13] ЛИШЬ К разбиениям поверхности, ограничивающей область. Так и происходит поэтому в любой однородной области требуется дискретизировать только поверхность, а не всю область (отсюда и название — метод граничных элементов ), так что область становится одним большим сложным элементом в смысле метода конечных элементов. Тогда переменные, описываюш,ие решение, будут изменяться непрерывно в этой области и все аппроксимации геометрии и т. д. будут иметь место только на ее внешних границах. [c.14] Интуитивно можно ожидать и другое, а именно, что вывод граничных интегральных уравнений и их решение могут оказаться более сложными математически, чем прочие упомянутые выше методы. К счастью, это верно лишь отчасти, несмотря на то что методы граничных интегральных уравнений в прошлом развивались в основном математиками. Существующая литература, хотя и обширна, имеет очевидный математический уклон. При этом отсутствует конечное вознаграждение , состоящее в том, что в итоге получается универсальный метод, который можно единообразно использовать. Однако с практической точки зрения за последние несколько лет ситуация улучшилась. Теперь доступны методы граничных элементов (МГЭ), развитые, по существу, на основе идей интегральных уравнений. Эти методы широко применимы без использования доказательств существования и единственности для каждого отдельного решения. В результате они становятся уеперь чрезвычайно популярными и реализуются в алгоритмах для быстродействующих ЭВМ, непосредственно используемых практиками. [c.14] Вернуться к основной статье