ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные теоремы из "Механика хрупкого разрушения " Определим вначале некоторые понятия. [c.54] Можно поставить также много других корректных, однородных граничных условий, имеющих физический смысл. [c.54] Решения канонических сингулярных задач будем называть однородными решениями. Относительно однородных решений имеет место следующее предложение. [c.54] ВХОДИТЬ д трансцендентное уравнение для указанных выше типов граничных условий. [c.55] Общее решение канонической сингулярной задачи равно произвольной линейной комбинации собственных функций. [c.55] Теорема 3.1 доказывается в следующих параграфах для наиболее типичных канонических задач. В число однородных решений, естественно, входят решения Сен-Венана, которыми мы будем в общем случае называть однородные решения, дающие конечные главный вектор и главный момент. Эти решения получаются из обычной теории изгиба, растяжения и кручения стержней, а также отвечают решениям задач о сосредоточенной силе и сосредоточенном моменте в вершине клина и в вершине конуса (в случае слоя рехиение Сен-Венана соответствует чистому изгибу и однородному растяжению). Однородные реще-ния, не являющиеся решениями Сен-Венана, по определению дают главный вектор и главный момент, равные или нулю, или бесконечности. [c.55] Всюду в дальнейшем, когда производится сравнение различных собственных функций, подразумевается, что они относятся к одним и тем же физическим величинам (например, напряжениям или смещениям) и, следовательно, все произвольные постоянные имеют одинаковую размерность. [c.55] Если левая часть трансцендентного уравнения представляет собой аналитическую функцию, то корни уравнения (вообще говоря, комплексные) будут дискретными ( дискретный спектр ). [c.55] На первом этапе доказательства теоремы 3.2 покажем, как вопрос об исследовании поведения решения в окрестности особой точки приводится к определенной канонической сингулярной задаче теории упругости. [c.56] Рассмотрим малую окрестность некоторой точки О, находящейся на особой линии (линии разрыва граничных условий или первых производных функции F(x,y, 2), или тех й других вместе). Напомним, что поверхность тела в малой окрестности рассматриваемой точки допускает группу подобия (3.3). [c.56] В бесконечной области, заключенной внутри двугранного угла, образованного касательными плоскостями к поверхности тела в точке О. Уравнения (3.8) представляют собой уравнения Ляме в случае плоской задачи теории упругости (первые два уравнения соответствуют обычной плоской деформации, последнее — сложному сдвигу). При предельном переходе (3.7) в однородных граничных условиях указанного выше типа в новых переменных получаются те же условия, если в них формально положить д дх з = 0. [c.57] Таким образом, вопрос об исследовании поведения решения в окрестности точки, лежащей на особой линии, сводится к канонической сингулярной задаче плоской теории упругости для двугранного угла. [c.57] Пользуясь аналогичным приемом ), нетрудно установить сводимость к соответствующей канонической сингулярной задаче всех случаев особых точек, указанных в первом параграфе. [c.57] Теперь для доказательства теоремы 3.2 осталось лишь показать, что для условия корректности краевой задачи теории упругости следует выбирать наибольшее по абсолютной величине однородное решение, соответствующее одному из собственных чисел. [c.57] Предположим, что выбрана некоторая собственная функция, не являющаяся асимптотически наибольшей по модулю. Изменим на некотором малом участке форму граничной поверхности и приложим к ней некоторую нагрузку, статически эквивалентную нулю и отвечающую собственной функции, наибольшей по модулю. Тогда при приближении к особой точке возмущенное решение будет по порядку величины превосходить невозмущенное решение, что противоречит предположению о корректности краевой задачи. Теорема доказана. [c.57] Классы S п N краевых задач теории упругости. Будем говорить, что краевая задача теории упругости с бесконечно удаленной точкой принадлежит классу S, если для нее справедлив принцип Сен-Венана, и классу N, если принцип Сен-Венана для нее не выполняется. [c.57] На основании теоремы 3.2 принцип Сен-Венана можно сформулировать так асимптотически наибольшая по модулю собственная функция канонической сингулярной задачи (удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений) всегда представляет собой решение Сен-Венана. [c.58] Отсюда получаем следуюш,ий признак принадлежности краевой задачи теории упругости к классу N или 5. [c.58] Теорема 3.3. Если суш,ествует собственная функция (удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений) более высокого порядка по сравнению с решением Сен-Венана, то соответствующая краевая задача теории упругости принадлежит классу N. Если такой собственной функции не существует, то соответствующая упругая задача относится к классу S. [c.58] Для доказательства второй половины теоремы 3.3 йужно быть уверенным в том, что, если некоторая собственная функция имеет тот же порядок, что и решение Сен-Венана, то эта собственная функция с точностью до множителя есть решение Сен-Венана. Это утверждение доказывается ниже для наиболее типичных случаев. [c.58] Вернуться к основной статье