ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоские задачи теории упругости для бесконечного тела с трещинами из "Двумерные задачи упругости для тел с трещинами " Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7] Тогда решение плоской задачи теории упругости в случае отсутствия объемных сил сводится к интегрированию бигармонического уравнения. [c.7] относительно старой системы координат. [c.9] Здесь и (t) и V (I) —известные на L функции. [c.9] Здесь X н — компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к самонепересекающемуся замкнутому контуру (k — , 2, т) Zft —произвольная фиксированная точка внутри контура L функции Ф (г) и (z) голоморфны в S. [c.10] Приведем результаты из теории аналитических функций, которые будут необходимы в дальнейшем изложении. Подробные сведения об аналитических функциях, интегралах типа Коши и сингулярных уравнениях можно найти, например, в монографиях [32, 137, 138]. [c.11] Здесь интеграл в правых частях понимается в смысле главного значения по Коши, т. е. [c.12] Формула (1.30) следует из соотношений (1.26) при учете, что функция ( ) t) f II. [c.12] Положительным направлением касательной считается направление обхода контура. [c.12] Интегральные представления комплексных потенциалов. Рассмотрим основные граничные задачи плоской теории упругости для бесконечной изотропной плоскости, ослабленной гладким криволинейным разрезом L (L — контур типа Ляпунова) с началом в точке а и концом г точке Ь. [c.18] Таким образом, функции (1.71) и (1.75) дают решение поставленной вспомогательной задачи (1.66), (1.67) для общего случая неса-моуравновешенной нагрузки q (t). Эти решения можно также рассматривать как интегральные представления комплексных потенциалов Ф (z) и (z) для бесконечной плоскости, разрезанной вдоль контура L. [c.19] Формулы (1.92) могут быть получены также из асимптотического разложения в малой окрестности вершины трещины точных решений различных частных задач. Именно таким способом были найдены асимптотические ( юрмулы (1.92) в работах [343, 401, 432, 437]. Г. П. Черепанов [254] строго доказал общий характер распределения (1.92). [c.24] Совершенно аналогично могут быть получены асимптотические формулы о распределении напряжений около концов криволинейного разреза, на берегах которого заданы смещения (в частности, около жесткого тонкостенного включения ). При этом для функции q (О будет справедливо представление (1.86), а функция g (/) будет ограничена вблизи концов разреза. Эти распределения не приводим, поскольку в дальнейшем в основном будем рассматривать имеющие важное значение в механике разрушения случаи разрезов (трещин), на берегах которых задана внешняя нагрузка. [c.24] Здесь начало трещины точка х = —I, конец — точка х I. Формула (1.95) впервые получена иным путем в работе [235]. [c.25] Пусть в точках л = ( g /) па верхнем и нижнем берегах трещины приложены нормальные Р и сдвигающие Q силы, одинаковые по величине, но противоположные по направлению, т. е. [c.25] Криволинейная трещина, близкая по форме к дугообразной или прямолинейной 1209]. Полученные точные решения могут быть использованы для построения методом возмущений приближенных решений для криволинейной трещины, мало отличающейся от прямолинейной или дугообразной. [c.28] Заметим, что решения (1.126) и (1.129) являются по существу решениями (1.112) и (1.115), записанными в другой форме. [c.30] Интегральные уравнения (1.150) справедливы также в случае, когда на контурах п = т + I, N) заданы смещения и известен главный вектор суммарных усилий, действующих на всех указанных контурах, однако дополнительные условия (1.154) при п==/72+1.Л в этом случае должны быть заменены другими [111, 138]. Уравнения (1.150) принадлежат к рассмотренному выше типу сингулярных интегральных уравнений (только записанных в иной форме) и, следовательно, при выполнении условий (1.154) всегда имеют единственное решение в классе функций, не ограниченных на всех концах контуров L .. [c.37] Вернуться к основной статье