ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби из "Метод усреднения в прикладных задачах " В механике говорят, что каноническая система уравнений (1) 2ге-го порядка описывает дви жения в динамической системе с п степенями свободы. [c.196] Невырожденное, дважды непрерывно дифференцируемое преобразование х, у) х, у ) называется каноническим, если оно преобразовывает каноническую систему (1) с произвольным, дважды дифференцируемым по х, у гамильтонианом Н в каноническую систему (2). [c.196] В этой же области якобиан Д является определителем матрицы Якоби размерности 2п X 2п. [c.196] Множество канонических преобразований образует группу 163]. [c.197] как и всюду, (, ) означает скалярное произведение векторов. [c.197] В дифференциальном равенстве (6) все функции х, у, W) считаются выраженными через новые переменные х, у. [c.197] Условия (6), (8), (9) принято называть условиями Якоби — Пуанкаре. [c.197] Приведем еще одно очень важное определение. [c.197] Канонические системы имеют много замечательных свойств. Некоторые из них мы здесь приведем. [c.198] Необходимое и достаточное условие каноничности преобразования (3) можно выразить также через скобки Лагранжа [163, 164], и оно имеет вид условий (17). [c.199] Симплектичность матрицы Якоби 9zV z является также необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (3) (следует учесть обозначения (21)). [c.199] Предполагается, что функции, встречающиеся во всех приведенных соотношениях, дважды непрерывно дифференцируемы. [c.199] Левая часть равенства (37) часто называется [91, 158] фазовым потоком гамильтоновой системы. Таким образом, теорема Лиувилля утверждает, что поток гамильтоновой системы постоя-пещ. Введение симплектической матрицы Якоби, а также матриц Пуассона и Лагранжа позволяет в удобной и компактной форме написать основные свойства канонических систем и преоб-разоваиий. [c.200] Полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка называется такое его решение, в котором число неаддитивных произвольных постоянных равно числу обобщенных координат [7]. [c.201] Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г/ как функции t и 2п произвольных постоянных а , Подставляя г/А=г/й( . п. Pi. Р ) во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные имнульсы как функции t ш 2п произвольных постоянных ttft, Pfe. Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165] по известному общел1у решению канонической системы (1) можно построить полный интеграл S t у и. .., Уп, tti,. .., а ) уравнения Гамильтона — Якоби (38). Из теоремы Гамильтона — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [c.201] Вернуться к основной статье