ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Деформации из "Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением " ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА. Исследуя процессы, протекающие в сплошной среде, в дальнейшем термином точка будем обозначать фиксированную точку неподвижного пространства наблюдателя. Материальные точки сплошной среды будем называть частицами . [c.91] Рассматривая такие геометрические объекты, как линии, поверхности, объемы и используя прилагательные пространственный или материальный (например, пространственная поверхность, материальный объем и т.д.), будем считать, что эти фигуры образованы соответственно точками или частицами. [c.91] Бесконечное множество материальных частиц, заполняв ющих в рассматриваемый момент времени некоторую область D пространства наблюдателя, образует тело расположение частиц образующих тело, т. е. его конфигурация, в общем случае изменяется во времени при движении сплошной среды. При этом возможны два подхода к исследо,-ванию процессов. [c.91] В первом, связанном с именем Лагранжа, объектом изучения являются сами материальные частицы. При. этом рассматривают изменение во времени некоторых скалярных или векторных величин, таких как плотность, температура, скорость фиксированной материальной частицы, а также изменение этих величин при переходе от одной час-, тицы к другой. [c.91] Иначе говоря, эти величины рассматриваются как функции от времени и тех переменных, которые характеризуют индивидуальность взятой частицы. [c.92] Переменные Хи Xz, Х и время t называются переменными Лагранжа. [c.92] Зависимости (II 1.1) полностью определяют положение частицы в пространстве ее лагранжевыми координатами Xj, Х2, Х3. Это позволяет взести еще одну систему координат—подвижную деформируемую систему координат Xi, Х2, Хз, которая называется сопутствующей системой. [c.92] В начальный момент времени =0 материальные координатные линии сопутствующей системы — прямые в, любой последующий момент времени U они вместе с частицами сп оЩной среды вновь перейдут в координатные линии этой системы, но в общем случае будут искривлены. Можно сказать, что сопутствующая криволинейная система координат вморожена в среду и деформируется вместе с нею (рис. 15). [c.92] Второй подход, развитый Эйлером, в качестве объекта изучения принимает неподвижное пространство наблюдателя (или его фиксированную часнь), заполненную движущейся средой. Различные величины, характеризующие движение, считаются фуккциями точки и времени, т. е. функциями трех аргументов Xi и времени t, называемых переменными Эйлера. [c.92] Например, выражение для скорости в данной точке пространства с радиусом-вектором х имеет вид v = v(x, t) = =v Xi, t). [c.92] ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Рассмотрим движение сплошной среды, не накладывая вначале требование малости смещений. Выберем некоторый базис бь б2, бз. Будем считать его фиксированным относительно наблюдателя. [c.93] Пусть материальная частица М в начальный момент времени =0 находилась в точке пространства с начальными координатами (Zi, Х2, Х3), а в текущий момент времени t — в точке с текущими координатами хи Х2, Хз). [c.93] Связь между начальными и текущими координатами, описьЪающая движение сплошной среды, может быть представлена двумя способами. [c.93] Как обычно, будем предполагать, что это соответствие взаимно однозначно, причем функции (П1.5) имеют непрерывные частные производные любого порядка. [c.93] Как и в предыдущем случае, будем считать, соответствие (III.7) взаимно однозначным и непрерывным, с непрерывными частными производными по всем аргументам. [c.94] ОТОБРАЖЕНИЯ. С математической точки зрения для произвольного фиксированного значения времени t система функций (III.5) определяет гладкое отображение некоторой области D трехмерного евклидова пространства, снабженного декартовой системой координат ОХ1Х2Х3 (рис. 16,а) в область Е другого трехмерного евклидова пространства, снабженного декартовой системой координат Oxix x (рис. 16,6). Так, что при t=0 это отображение является тождественным Xi=Xi. Последовательность таких отображений, определяющих конфигурацию тела в различные моменты времени t, и описывает движение сплошной, среды и связанную с ним деформацию тела. Модуль якобиана отображения (III.5) является коэффициентом искажения отображения в рассматриваемой точке, он показывает с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка, во сколько раз изменяется объем бесконечно малой области, содержащей указанную точку, при ее отображении. Отсюда следует, что якобиан А не может обращаться в нуль, а поскольку отображение (III.5) непрерывно зависит от f и при =0 якобиан тождественного отображения равен единице, то он всегда положителен. [c.94] Если всюду в теле (dxy— dX) =0, то движение тела называется абсолютно жестким движением. Если в точке М инвариант (dx) — —(йХ Фй, то считают, что в этой точке тело находится в деформированном состоянии. [c.95] КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ. ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА. Рассмотрим конечные деформации тел, ограниченных двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по ср авнению с прочими размерами тел. [c.97] Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих поверхностей, назовем серединной поверхностью. [c.97] Восстановим в произвольной точке серединной поверхности перпендикуляр. [c.97] Вернуться к основной статье