ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные алгебраические системы из "Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением " Теорема 1.5 Система . Z) совместно тогда и только тогда, когда рацг расширенной матрицы этой системы равен рангу основной матрицы. [c.48] Формула (1.99) даёт решение уравнения (1.97), причем так как каждое решение имеет вид (1.99), то решение единственно. [c.49] Задача 1.2. Решение линейной системы с помощью обратной матрицы. [c.49] Задача 1.3. Применение формул Крамера. [c.50] Следует отметить, что решение больших систем с применением правила Крамера практически невозможно. В качестве иллюстрации можно привести следующие элементарные расчеты. При решении системы из 30 уравнений с помощью правила Крамера потребовалось бы вычислить 31 определитель порядка 30. Сумма членов каждого определителя равна 30 , причем каледый требует 29, умножений. Следовательно, решение линейной системы предполагает 31-30 -29 умножений плюс прщлерно такое же количество сложений, т. е. 476924 10 действий. [c.51] МЕТОД ГАУССА. Наиболее известным методом реше- ния систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Проиллюстрируем его на примере решения системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными. [c.51] Решить систему метод Гаусса. [c.51] На примере рассмотрим, к каким погрешностям приводит близость ведущего элемента к нулю. [c.53] Пример. Решая методом Гаусса систему. [c.53] Если же второе и третье уравнения переставляются, то вычисленное решение оказывается достаточно точным. [c.53] Пример 1. Если [Л] — вырожденная матрица, т. е. det[ ]=0, то для некоторых [Ь] решения [х] не существует, тогда как для других 6 решение является неединственным. Следовательно, если матрица [Л] близка к вырожденной, то можно ожидать, что малые изменения в [А] и 6 вызовут большие изменения в х , т., е. решение системы (Г. 118) будет неустойчивым. [c.54] Максимум и минимум, берутся по всем ненулевым векторам. Если [Л] вырождена, то т=0. [c.54] Пусть правая часть уравнения [Л] ж = 6 получила приращение М , что соответствует изменению Wna Ад . [c.54] Поскольку ГЛ] Да = ДЬ , из определения Мят следует что 116 М л , ДЬ т д . [c.54] чем меньше число обусловленности матрицы [Л] системы (1.118), геж лучше обусловлена эта система, тем устойчивее проходит процесс решения системы на ЭВМ. [c.55] При этом 11Ь, 1 = 13,8 и 1U = 1. [c.55] Таким образом, очень малое возмущение, внесенное в 6 , совершенно изменило л . [c.55] Вернуться к основной статье