ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение под действием сил всемирного тяготения из "Основы теоретической механики " Формулы Вине дают возможность рассчитывать скорость и действующую силу в зависимости от положения точки на заданной в плоскости V траектории. Их можно использовать, в частности, для вывода закона всемирного тяготения Ньютона из законов, сформулированных И. Кеплером по наблюдениям за движением небесных тел солнечной системы. Приведем законы Кеплера. [c.255] Закон 1. Орбиты всех планет и комет солнечной системы представляют собой конические сечения, в одном из фокусов которых расположено Солнце. [c.255] Закон 2. Площади, заметаемые радиусами-векторами планет, имеющими начало в Солнце, прямо пропорциональны интервалам времени движения п.ланет. [c.255] Коэффициент пропорциональности один и тот же для всех планет солнечной системы. [c.255] По этим законам однозначно решается обратная задача механики. Другими словами, по ним можно восстановить силу взаимодействия планет с Солнцем. Этот результат был впервые опубликован Ньютоном в 1687 г. [c.255] Но отнощение а /т для всех планет совпадает. Отсюда и следует постоянство величины р. Если принять р = /М, где М — масса Солнца, то сила, действующая на планету, представляется в виде, указанном в утверждении теоремы. [c.256] В соответствии с теоремой 3.11.2 движение планет солнечной системы происходит так, как будто они взаимодействуют только с Солнцем и не взаимодействуют друг с другом. По закону всемирного тяготения на каждую планету действует не только Солнце, но и другие планеты. Однако сила притяжения Солнца существенно превосходит влияние других планет. Точность измерений, доступных Кеплеру, не позволяла уловить это влияние. [c.257] В небесной механике задача о движении двух материгипьных точек под действием сил всемирного тяготения называется задачей двух тел. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. В задаче двух тел относительное движение точек описывается уравнением движения, справедливым для одной материальной точки в поле центргичьной ньютонианской силы (теорема 3.11.2), когда в неподвижном центре помещена притягивающая масса, равная сумме масс взаимодействующих тел. [c.258] Таким образом, при изучении движения планеты относительно Солнца следует принять массу М равной сумме масс Солнца и планеты. Однако масса планеты в данном случае пренебрежимо мала. [c.258] Постоянный вектор с перпендикулярен плоскости траектории материальной точки. Траектория точки в небесной механике называется орбитой. Вектор с определяется начальными значениями радиуса-вектора Го и скорости vq при t = to . [c.259] Теорема 3.11.3. (Лаплас). Вектор Лапласа направлен вдоль большой полуоси в сторону перицентра орбиты. [c.259] Тем самым тип орбиты зависит только от знака h постоянной энергии. Возможны следующие случаи. [c.261] Это — вторая космическая скорость. Она минимальная среди всех скоростей, при которых материальная точка неограниченно удаляется от притягивающего центра. [c.261] Уравнение Кеплера можно решать методом простой итерации. На рисунке представлен результат трех первых итераций. Видно, что отображение через итерацию оказывается сжимающим. Число арифметических операций для каждой итерации невелико, и процесс сходится достаточно быстро. [c.263] Вычисление функции 1/(1) завершает решение задачи Коши об определении закона движения материальной точки по заданным начальным значениям радиуса-вектора и вектора скорости. [c.263] Рассмотрим задачу о попадании в ньютонианском центральном поле силы. Пусть О — центр силы, а М и М —, две точки пространства, через которые необходимо провести траекторию материальной точки. Предположим, что три точки О, М, М не лежат на одной прямой. Они определяют плоскость V, которая содержит искомую траекторию. [c.264] Примем для определенности, что эта траектория — эллипс. Тогда притягивающий центр О находится в одном из фокусов эллипса. Задача будет рещена, если указать второй фокус О. [c.264] Но по условию задачи величины г и г фиксированы. Поэтому все допустимые положения второго фокуса О стеснены условием, что разность их расстояний р и р до заданных точек М и М одинакова. Такие точки О образуют гиперболу, и мы имеем бесчисленное множество рещений. [c.264] Из первого равенства следует, что точка О лежит на окружности радиуса 2а — г с центром в Л/, а из второго равенства следует, что точка О лежит на окружности радиуса 2а — г с центром в М. [c.265] Вернуться к основной статье