ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Одномерные осцилляторы из "Основы теоретической механики " Отсутствие явной зависимости суммы Т + V от времени служит достаточным условием существования обобщенного интеграла энергии не только для случаев, рассмотренных выше, но и в гораздо более общем случае (см, следствие 8.4.3). [c.211] Изучим свойства решений часто встречающихся на практике типов дифференциальных уравнений движения. Они будут иметь приложение как к движению одной материальной точки, так и к движению систем материальных точек, подверженных связям. [c.211] В зависимости от раз.пичных начальных условий имеем семейство концентрических эллипсов, отличающихся друг от друга только одним параметром — постоянной энергии. Начало координат (поло-X жение равновесия гармонического осциллятора) в соответствии с общепринятой классификацией особых точек представляет собой центр. [c.213] Комплексный вектор z t) имеет модуль, равный амплитуде а, и в начальный момент времени г(0) = . [c.214] Если из этого положения вектор г, сохраняя его модуль, вращать против хода часовой стрелки с угловой скоростью ш, то его проекция на действительную ось дает в любой момент времени значение действительной координаты X, соответствующее гармоническому колебанию. [c.214] Гармонический осциллятор представляет собой идеализированную механическую систему, в которой не учитывается трение. Обычно на систему действуют диссипативные силы, рассеивающие энергию движения. Ниже иллюстрируется изменение снойств системы из-за добавления такого рода сил. [c.214] Перейдем к анализу общих свойств движения осциллятора с сухим трением. Для этого, в зависимости от знака скорости х, выделим два случая. [c.215] Полученное уравнение задает на фазовой полуплоскости х 0 семейство (по к ) половин эллипсов с центром в точке О , имеющей абсциссу —//ш . [c.215] Они образуют семейство (по к ) половин эллипсов, расположенных на фазовой полуплоскости х 0, и их центр смещен в точку 0 , имеющую абсциссу ЛьР. Полная фщювая траектория получается сопряжением половины эллипса одного семейства с половиной эллипса другого семейства в момент прохождения фазовой точки через ось абсцисс. В такие моменты особенно наглядно видно уменьшение размаха (амплитуды) колебаний. [c.216] Строго говоря, такой вывод противоречив. Непосредственно из уравнения движения следует, что постоянное значение координаты х может быть его решением, только если х = 0. Вместе с тем приведенные выше рассуждения показывают, что фазовая точка не может покинуть отрезок [0 , 0 ], так как для него сила упругости меньше по модулю силы трения скольжения. [c.217] Если заданные начальные условия отличаются от только что рассм1 тренных, то для рещения задачи о числе колебаний осциллятора с сухим трением достаточно выполнить один дополнительный щаг, най я точку первого пересечения фгьзовой траектории с осью абсцисс. Далее ход рещения задачи можно оставить таким, какой был приведен выще. [c.218] Легко убедиться в том, что это есть уравнение рассматриваемого типа. [c.218] В масляном демпфере движение поршня вызывает просачивание масла с одной стороны поршня на другую. Возникающая при этом сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движения поршня и называется силой вязкого трения. За счет вязкого трения происходит рассеивание энергии и остановка поршня. [c.219] В зависимости от знака подкоренного выражения рассмотрим следующие варианты. [c.219] Полученный тип движения можно интерпретировать как колебания с убывающей амплитудой. Постоянная с1 = ехр к/2) называется декрементом затухания. Она показывает, во сколько раз амплитуда уменьшается за 1 с. [c.220] Следовательно, все фазовые траектории пересекают ось л = О под одинаковым углом наклона, тангенс которого равен —к. [c.221] Значит, если о + кхо/2 0, то равенство ж = 0 достигается при положительном значении ж, а если о + кхо/2 0 — то при отрицательном. [c.222] Суммируя сказанное, получаем фазовый портрет системы в рассматриваемом случае (рис. 3.9.6). Начало координат представляет собой особую точку типа вырожденный узел . [c.222] Впадая в начало координат, фазовые кривые касаются прямой 7 = 0, т.е. [c.223] Вернуться к основной статье