ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Параметры Кэли-Клейна из "Основы теоретической механики " Такое соответствие взаимно однозначно. [c.102] Тем самым модуль определителя унитарной матрицы равен 1. При этом на аргумент определителя не накладывается никакого ограничения. [c.103] По отношению к унитарным матрицам это — дополнительное требование. [c.104] Из-за этого условия матрица Q содержит только три независимые величины. Как раз ровно столько, сколько нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве. [c.104] Теорема 2.7.1. Унитарные матрицы Q такие, что с1е1 (5 = 1, образуют группу относительно операции умножения. [c.104] Определение 2.7.3. Группа унитарных матриц (2 х 2) с определителем, равным единице, называется группой 51/(2). [c.105] Тем самым длина вектора в соответствующего матрице Р , совпадает с длиной вектора в соответствующего матрице Р. Другими словами, каждой матрице Q 6 51/(2) можно поставить в соответствие некоторый ортогональный оператор А 6 50(3), действующий в пространстве Е . [c.105] Тем самым коэффициенты суть компоненты искомой ортогональной матрицы оператора А. [c.106] что матрицы будучи базисными для матриц Р, преобразуются так же, как векторы репера, жестко связанного с твердым телом. [c.106] Определение 2.7.4. Компоненты а, / , 7, 6 матрицы Q 6 3(1(2) 7 = —/ , 8 = а, аа + 3/3 = 1, называются параметрами К эли-Клейна. [c.106] Параметры Кэли-Клейна могут служить для определения ориентации твердого тела. [c.106] Следствие 2.7.2. Произво.льному оператору А 50(3) соответствует матрица Q 6 SU 2), описывающая то же самое движение твердого тела, что и А. [c.108] Следующим происходит поворот на угол нутации г) вокруг первой координатной оси. Для него параметры Эйлера имеют вид до = со8( 1/2), 91 = 8ш( 1/2), 92 == 0, 93 = 0. Отсюда получается формула для матрицы Q , задающей вращение по углу нутации. [c.109] Завершает композицию вращение на угол дз вокруг третьей координатной оси. Доказываемая формула для матрицы (5 вполне аналогична формуле для матрицы Q . [c.109] Как и следовало ожидать, коэффициенты разложения матрицы Q по матрицам Е, а-, (Тз, (Тз совпадают с выражениями первого решения для параметров Эйлера, найденными в примере 2.6.1 для случая до Ф 0. Второе решение получится, если ко всем эйлеровым углам прибавить 2тг. [c.109] Отметим, что если Q 3(1(2) отвечает некоторому оператору А 50(3), то матрица —Q дает тот же оператор. Поэтому присутствие половинных углов Эйлера в выражениях для параметров Кэли-Клейна вполне естественно. Имеем взаимно однозначное соответствие между одним оператором из 50(3) и парой матриц (Q, —Q) из 3(1(2). Можно сказать, что Q есть двузначная функция операторов из 80(3). [c.110] Для того, чтобы установить соответствие между параметрами Кэли-Клейна и элементами матрицы. Д, совсем не обязательно сначала определять углы Эйлера или какие-либо другие угловые координаты. Используя изоморфизм, отмеченный в следствии 2.7.1, можно непосредственно применить теоремы 2.6.2 и 2.6.3. [c.110] Принимается, что кватернионы, у которых Ь = с = d — О, коммутируют при умножении со всеми остальными кватернионами. [c.110] Тем самым установлен изоморфизм пространств унитарных матриц и кватернионов. [c.110] Пространство Но изоморфно евклидову пространству. [c.112] Вернуться к основной статье