ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Угловые координаты твердого тела из "Основы теоретической механики " что оператор А преобразует вектор х таким образом, что этот вектор в ортонормированном правоориентированном базисе 0 02 03 имеет те же координаты, что и в исходном. 1ем самым оператор А осуществляет преобразование от базиса пространства к базису, связанному с твердым телом. [c.88] Теорема 2.5.1. Оператор Аз в композиции А = А о А преобразует векторы в точности по тем же формулам, по каким он преобразует векторы ех, ез, ез пространства. [c.89] Следствие 2.5.1. Столбцы матрицы оператора А суть компоненты векторов конечного базиса, взятые относительно промежуточного базиса е полученного в результате действия оператора А(1). [c.89] Другими словами, сначала с помощью оператора А ) осуществляется переход от базиса Во к промежуточному базису Вх, а затем с помощью оператора А выполняется переход от промежуточного базиса Вх к конечному базису В. Напомним, что матрица композиции линейных операторов равна произведению их матриц, взятых в том же порядке, в котором операторы участвуют в композиции. [c.89] Всего коэффициентов девять. Следовательно, имеется три свободных параметра, полностью определяющих действие ортогонального оператора в Е . Так как А 50(3), то дополнительно должно быть выполнено условие (1е1 А = 1. Поскольку определитель ортогонального оператора равен 1 или —1, последнее условие, не уменьщая числа свободных параметров, сужает множество, которому они могут принадлежать. [c.90] Теорема 2.5.2. Существуют углы Эйлера, задающие произвольное положение твердого тела относительно базиса Bq. [c.91] В базис Bit, жестко связанный с телом. Прямая с направляющим вектором проходящая через точку О, называется линией узлов. [c.92] Углы Эйлера задают последовательность вращений сначала на угол прецессии ф вокруг оси ез, затем на угол нута-(1) ции I вокруг повернутого на угол ф положения первой оси и, наконец, на угол собственного вращения р вокруг нового положения третьей координатной оси, получившегося после первых двух поворотов. [c.92] Углы Эйлера доставляют минимальный набор координат, определяющих положение твердого тела. Когда они заданы, матрица оператора А вычисляется однозначно. Обратное неверно. Одному и тому же оператору А отвечает множество наборов углов Эйлера, так как каждый из углов может быть найден с точностью до слагаемого, кратного 2тг. Чтобы избавиться от этого неудобства, с.педует учесть. [c.92] Дуга большого круга между точками пересечения осей ез и со сферой отвечает углу нутации и аналогична полярному радиусу. Угол прецессии задает вращение этой дуги вокруг вектора ез и аналогичен полярному углу. Угол собственного вращения осуществляется вокруг оси и к отмеченной аналогии от-нощения не имеет. [c.93] Теорема 2.5.3. Существуют кардановы углы, задающие произвольное положение твердого тела относительно базиса ех, ег, ез. [c.94] Как видно из доказательства теоремы 2.5.3, введение кардановых углов переносит особенность в те положения твердого тела, для которых = в1. Вообще появление особенности при использовании минимального набора угловых координат неизбежно и связано с тем, что при поворотах концы базисных векторов описывают дуги большого круга. На сфере же любые две окружности большого круга имеют пересечение. [c.95] Вернуться к основной статье