ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование эллипсоида инерции из "Основы теоретической механики " С помощью радиуса-вектора г, имеющего начало в точке С, зададим произвольную точку О. Радиусы-векторы точек из Q, имеющие начало в точке О, обозначим г,. Тогда будем иметь г, = — г. [c.51] Лемма 1.10.1. Действие формы Т х,у) выражается суммой Т(х,у) = ТДх,у) + Тл/(х,у). [c.51] Форма Тс(х,у) порождает в точке С тензор инерции Л, называемый центральным тензором инерции, а форма 7л/(х,у) — в точке О тензор инерции Л . Лемму 1.10.1 можно переформулировать следующим образом. [c.51] В частности, есть произведение суммарной массы на квадрат расстояния от центра масс до оси с направлением вр, проходящей через точку О. Особенности внутренней структуры множества Q отражаются формой Тс(х,у) и связанным с ней тензором Теорема 1.10.1 дает возможность, определив однажды этот тензор, эффективно пересчитать его для любой интересующей нас точки пространства. [c.52] Перейдем к характеристикам эллипсоида инерции. Взятый относительно центра масс множества Q он называется центральным эллипсоидом инерции, его главные оси — главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции. [c.52] Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. [c.52] Но г X е есть произведение модуля г радиуса-вектора на синус угла между г и е, что представляет собой расстояние 0. между осями. Как следствие отметим, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси. [c.53] Пример 1.10.2. Найти геометрическое место точек плоскости, для которых сумма квадратов расстояний от п заданных точек той же плоскости постоянна и равна а . [c.53] Исследуем теперь деформацию эллипсоида инерции в точке О по сравнению с центральным эллипсоидом при удалении точки О от центра масс С. Зафиксируем единичное направление смещения точки О, так что г = гвр, и будем изменять только модуль г. Пусть z (x) — оператор нормали к центральному эллипсоиду, а z(x) — оператор нормали к эллипсоиду в точке О (см. теорему 1.8.4).. [c.54] Теорема 1.10.4. Если направление ег — главное для центрального эллипсоида инерции, то оно будет главным и для любой точки О, определенной радиусом-вектором г = гвг при произвольном значении г. И наоборот, если направление вг не было главным для центрального эллипсоида инерции, то оно не может стать главным пи при каком значении г. [c.55] Теорема 1.10.5. Пусть направление е произвольно. Тогда при увеличении г диаметр эллипсоида инерции в точке О, соответствующий направлению Вг, не изменяется. Остальные диаметры уменьшаются, так что весь эллипсоид сжимается к отрезку, направленному вдоль оси, проходящей через точки О и С. Две из трех главных осей инерции стремятся к плоскости, перпендикулярной Вг, третья ось стремится стать коллинеарной вектору вг. [c.55] Теорема 1.10.6. Если некоторая ось оказалась главной для двух своих точек, то она проходит через центр масс и будет главной для любой своей точки. [c.56] Вернуться к основной статье