ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение несвободной материальной точки из "Основной курс теоретической механики. Ч.1 " Из (5) видно, что множители Xi и I2 равны соответственным нормальным реакциям, деленным на первый дифференциальный параметр связи. [c.404] Уравнения (7) называются естественными уравпелиями движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой. Они замечательны тем, что первое из этих уравнений не содержит наперед неизвестной реакции связи и служит для нахождения закона движения точки уравнения же (76) и (7в) определяют реакцию связи, которая, как видим, зависит как от активной силы р, так и от скорости движения. [c.405] Таким образом, пользуясь естественными уравнениями, можно находить закон несвободного движения, не отыскивая реакцию связи, чего с помощью системы (6) сделать нельзя. [c.405] Следовательно, в случае склерономной идеальной связи реакции связи в выражение элементарной работы не входят и теорема об изменении кинетической энергии сохраняет тот же вид, что и для свободной точки. Это объясняется тем, что при склерономных идеальных связях, действительное перемещение dr будет всегда перпендикулярно к реакции N. а потому элементарная работа реакции будет равна нулю. [c.406] Пусть груз весом Р. подвешенный на нити длиной I, получает в равновесном положении Мо начальную скорость Do, перпендикулярную к нити (рис, 360). Найдем натяжение нити как функцию угла отклонения ф и условие, при котором груз опишет полную окружность. [c.407] Нить является связью освобождающей и точка (груз) будет двигаться по окружности радиуса I до тех пор, пока N 0. При О направление реакции изменяется на противоположное такую реакцию, направленную от точки подвеса, мог бы развивать жесткий стержень, в случае же нити точка при этом сойдет с окружности (покинет связь) и будет двигаться как свободная до тех пор, пока ее расстояние от точки подвеса не станет равно I. [c.408] Если нить заменить жестким невесомым стержнем, то условие того, что груз опишет полную окружность, изменится и будет состоять в том, что скорость груза нигде, кроме, может быть, точки М, не должна обратиться в нуль. Из формулы Галнлея следует, что это будет, когда Vq /47/. [c.408] Рассмотрим сначала случай малых колебаний. [c.409] Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения (10), если учесть, что в нашем случае -Uq = О, v = lq и = mgh = mgl ( os ф — os фо) (см. [c.410] По принятым начальным условиям (22) при t = Q угол ф = 0, а следовательно, как видно из (25), и а = 0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (26) определенные интегралы справа от О до t. [c.411] Интеграл, стоящий в левой части равенства (27), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и ыод.уля, т. е. [c.412] Представляющей собой четверть периода эллиптического интеграла (28). [c.413] Будем теперь искать такую кривую, двигаясь по которой точка пройдет путь АВ в кратчайшее время аналитически эта задача сводится к нахождению такой функции z(x), которая обращала бы функционал (43) в минимум. Кривая, обладающая таким свойством, называется брахистохроной (от греческих слов рра што —кратчайший и xP vo —время). Задача о брахистохроне была впервые поставлена и решена в 1696 г. Иоганном Бернулли, который тем самым положил начало вариационному исчислению — отделу анализа, посвященному нахождению экстремумов функционалов. [c.416] Для того чтобы функция Z (х) обращала функционал J в минимум, необходимо, чтобы для какой угодно функции г х) = z (х)- г х), достаточно близкой к z (х) [или, что то же, для кривой, достаточно близкой к кривой z = z(x) и проходящей через точки А и В, значение 7[г (х)1 было больше значения J[z x). [c.416] Величина e (j ), на которую функция z(x) отличается от функции г(х), называется, как известно (см. 28. п. 1), вариацией этой функции, т. е. [c.417] Из равенств (45) и (44) видно, что последний интеграл в правой части представляет собой, с точностью до малых высшего порядка, разность J z x)]—J[z x). Эта разность называется первой вариацией функционала J, т. е. [c.417] Так как функция (х) произвольна и на пределах интеграла обращается в нуль (ибо вариации 6z в точках А я В равны нулю), то в силу основной леммы вариационного исчисления подынтегральное выражение равно нулю. т. е. [c.418] Это уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции г (д ). [c.418] Отсюда, исключая ф, выразим С через х и у . [c.420] Вернуться к основной статье