ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение свободной материальной точки под действием центральных сил из "Основной курс теоретической механики. Ч.1 " Отсюда следует, что траектория точки, движущейся под действием центральной силы, есть плоская кривая, а движение точки происходит по закону площадей, т. е. с постоянной секторной скоростью или, иначе говоря, так, что радиус-вектор точки, проведенный из центра силы, в любые равные промежутки времени описывает равные площади (см. 33, п. 2). [c.384] Поскольку при движении под действием центральной силы траектория точки есть плоская кривая, то для изучения движения можно пользоваться полярными координатами г и ф, что значительно упрощает все расчеты. [c.384] Особый интерес представляет случай, когда сила F явно не зависит от времени. Тогда уравнение (11), связывающее Р, с координатами г и ф, будет представлять собой дифференциальное уравнение траектории точки. Из него можно непосредственно определить, под действием какой центральной силы точка может описывать данную траекторию, и, наоборот, найти, какую траекторию точка опишет под действием данной центральной силы. [c.386] Закон движения точки вдоль траектории найдется при этом из уравнения (12). [c.386] Полученные уравнения играют важную роль при изучении движения в поле тяготения Солнца или планет (небесная механика, динамика ракет, космонавтика). [c.386] Из законов Кеплера Ньютон нашел закон, по которому изменяется сила, действующая на планету при ее движении вокруг Солнца, а затем пришел к закону всемирного тяготения. [c.387] Покажем, как может быть решена задача динамики, состоящая в том, чтобы, зная закон данного движения (законы Кеплера), определить действующую силу. Из первого закона Кеплера непосредственно вытекает, что действующая на планеты сила есть сила центральная, направление которой проходит через центр Солнца (см. 33, п. 2). Из второго закона легко найти, что сила, действующая на планеты, будет силой, притягивающей их к Солнцу обратно пропорционально квадрату расстояния. Для этого воспользуемся формулой Бинэ. [c.387] Таким образом, действующая сила F будет силой притягивающей, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от притягивающего центра. [c.388] Следовательно, коэффициент [i (постоянная Гаусса) есть, величина, одинаковая для всех тел, движущихся под действием притягивающей силы Солнца, и поэтому должна зависеть только от массы Солнца. [c.388] Эта формула выражает закон всемирного тяготения два тела пратягаваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. [c.389] Кениге поставил задачу еще шире, а именно найти закон силы / (г), под действием которой точка описывает алгебраическую кривую при любых начальных условиях. Решение этой задачи привело Кёнигса к такому же результату. [c.390] Наблюдения над двойными звездами показывают, что звезда-спутник движется около главной звезды по эллипсу, в фокусе которого находится главная звезда, следовательно, здесь имеет место ньютонов закон притяжения. Если бы имел место закон притяжения пропорционально расстоянию, то главная звезда находилась бы в центре орбиты спутника, что противоречит наблюдениям. [c.390] Сравнивая этот результат с уравнением (13), мы видим, что траекторией точки будет коническое сечение (эллипс, парабола или гипербола). один из фокусов которого совпадает с притягивающим центром О. Конкретный вид траектории зависит от значений постоянных интегрирования е и е, т. е. от начальных условий. [c.391] Так как при ср — О косинус имеет наибольшее значение, то, следовательно, полагая е = О, мы условливаемся отсчитывать угол ср от той точки траектории, для которой и имеет максимум, а г — минимум, т. е. от точки Р орбиты, ближайшей к притягивающему центру (рис. 351) и называемой перицентром ) (от греч. nepi — возле). [c.391] Положение этой точки наперед не известно и подлежит определению по начальным данным. [c.391] Значение входящей. сюда постоянной площадей с вычисляется по начальным условиям согласно равенству (3). [c.392] Рассмотрим теперь случай гиперболической орбиты е 1. Из уравнения траектории (23) видно, что при изменении угла ф от нуля до значения ф. определяемого равенством есозф = —1, точка переместится по соответствующей ветви гиперболы от перицентра до бесконечности (угол ф дает направление асимптоты гиперболы). [c.394] Во всех предыдущих расчетах притягивающий центр (Солнце) считался неподвижным по отношению к некоторой инерциальной системе отсчета (к звездам). Уточним полученные результаты, принимая во внимание взаимное притяжение Солнца 5 и движущейся вокруг него планеты Р, и считая расстояние между этими телами столь большим по сравнению с их размерами, что тела можно рассматривать как материальные точки. [c.395] Вернуться к основной статье