ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение твердого тела около неподвижной точки из "Основной курс теоретической механики. Ч.1 " Геометрическое место мгновенных осей вращения при движении тела образует в пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета, конус, называемый неподвижным аксоидом (от слова axis — ось). Кроме того, мгновенная ось вращения при движении тела изменяет свое положение в самом теле (точнее, в пространстве, связанном с телом). Эта коническая поверхность, образуемая семейством мгновенных осей вращения в пространстве, связанном с движущимся телом, называется подвижным аксоидом. [c.133] Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину в точке О, и в каждый данный момент времени мгновенная ось вращения будет служить общей образующей для подвижного и неподвижного аксоидов. Таким образом, подвижный аксоид при движении тела будет катиться без скольжения по неподвижному аксоиду. [c.133] Как видим, получающаяся в этом случае картина движения тела совершенно аналогична картине, данной Пуансо для плоскопараллельного движения (см. 9), только роль мгновенного центра вращения здесь играет мгновенная ось, а роль центроид — аксоиды. [c.133] Эйлера — Даламбера в этом случае переходит в теорему II для плоскопараллельного движения (стр. 102). [c.134] Примером может служить волчок с неподвижной точкой О (рис. 133), совершающий так называемую регулярную прецессию (волчок вращается вокруг своей оси Oz, а эта ось обращается в свою очередь вокруг вертикали Ос так, что zOh, = onst). При этом движении мгновенная ось вращения волчка ОР, лежащая между осями 2 и t,, описывает относительно неподвижного пространства неподвижный конус /, а в самом теле— подвижный конус 2 при движении волчка около точки О подвижный конус (аксоид) будет катиться без скольжения по неподвижному. [c.134] Это—так называемые формулы Эйлера, определяющие проекции скорости любой точки М х, у, z) тела, имеющего неподвижную точку О. Вид этих формул не зависит от того, считаем мы оси Oxyz неподвижными или же связанными с телом и вращающимися вместе с ним, т. е. эти формулы ковариантны по отношению к переходу от неподвижной к подвижной системе осей. Формулы (24) в 8 являются их частным случаем. [c.135] Здесь вообще о) не перпендикулярно к г, как это было в случае плоскопараллельного движения, и ta г ФЧ. [c.135] Вектор (о А, направленный к мгновенной оси вращения, называется осестремительным компонентом ускорения (по аналогии с выражением — центростремительного компонента при круговом движении точки). Что касается вектора еX г, то он направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы г и е, т. е. так, как было бы направлено касательное ускорение точки М, если тело вращалось бы вокруг оси, совпадающей с е. Вектор е X называют еще вращательным компонентом ускорения. [c.136] Заметим, что проекции мгновенной угловой скорости ю будут функциями времени что же касается вектора г, то его проекции на подвижные оси, т. е. координаты х, у, z какой-нибудь точки тела, будут постоянны, так как оси Oxyz неизменно связаны с телом, проекции же т), С на неподвижные оси зависят от времени. [c.136] Таким образом, координаты точек мгновенной оси удовлетворяют уравнениям (10) в подвижной и уравнениям (11) в неподвижной системе осей. [c.137] Пример. Круглый конус, высота которого равна Л. а угол при вершине— 2о, катится по горизонтальной плоскости без скольжения так, что его вершина О неподвижна, а центр основания С движется с постоянной по модулю скоростью (на рис. 136 показано осевое сечение конуса вертикальной плоскостью). Найдем скорость и ускорение точки В конуса, занимающей в данный момент наивысшее положение. [c.137] При качении без скольжения скорости всех точек образующей ОА равны в данный момент нулю, следовательно, ОА является мгновенной осью вращения. Поверхность конуса будет подвижным аксоидом, а горизонтальная плоскость — неподвижным. [c.137] Вернуться к основной статье