ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение задач динамики из "Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами " Условно устойчивые методы становятся неустойчивыми, если шаг интегрирования Ат выбран больше некоторого критического значения. [c.14] Определенных рекомендаций для выбора временного шага Ат практически не существует. Для того, чтобы избежать существенного влияния, привносимого фиктивным затуханием, на тона с диапазоном частот меньше и, шаг интегрирования ориентировочно подбирают, как Дт 1/(4со ). [c.15] При решении (1.58) обычно поступают следующим образом. Разбивают интервал интегрирования по времени на отдельные участки. В пределах участка используют аналитическое решение. Решение q(x) восстанавливается согласно (1.55). [c.17] Можно показать, что уравнения принципа возможных изменений напряженного состояния (1.65), (1.66) приводят к условиям совместности. Для этого напряжения 8а нужно выразить через функции напряжений (функции Эри, Максвелла, Морера), т. е. представить 5o=W6s (где W — прямоугольная матрица дифференциальных операторов, такая, что L W = 0 6s — вектор-столбец независимых функций напряжений) и выполнить интегрирование по частям. [c.19] Функционал /(о) (1.69) носит название полной дополнительной энергии [10]. Уравнение (1.67) или (1.68) позволяет получить уравнения метода сил, рассматриваемые в курсе сопротивления материалов. [c.19] Такую формулировку задачи иногда называют модифицированным принципом Рейсснера. [c.22] Вариационное уравнение (1.82) приводит к уравнениям равновесия, записанным через деформации L e—g=0 в объеме V и L e—р=0 на поверхности Sp. Уравнение (1.83) требует выполнения условий совместности деформаций Lu=e. [c.22] Единственность решения смешанных вариационных задач, рассмотренных выше, обеспечивается выполнением необходимых и достаточных условий непрерывности и условий Бабушки — Бреззи, которые обеспечивают выполнение обобщенной теоремы Лакса—Мильграма [29, 39]. [c.23] Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23] При решении задач методом конечных элементов (в варианте независимых перемещений) аппроксимация поля перемещений конструируется в виде (1.27). В качестве функций формы, как правило, используют полиномы, обеспечивающие в пределах элемента геометрическую изотропию аппроксимации, а на границах элементов — необходимую гладкость сопряжения. В соответствии с (1.27) поле деформаций в конечном элементе при решении методом перемещений определяется как e=Bq, где В=ЬФ, а соответствующая матрица жесткости элемента вычисляется согласно (1.30). [c.23] Если функции формы, входящие в матрицу Ф (1.27), не содержат функций, описывающих точно смещения как жесткого целого, то условие (1.84) не будет выполняться. В таких элементах при смещении как жесткого целого будут возникать ложные деформации и сходимость МКЭ будет низкой. [c.24] При построении конечных элементов с независимой аппроксимацией деформаций в элементе необходимо обеспечить геометрическую изотропию полей перемещений и деформаций, а также выполнение условия согласованности размерностей (1.86). Наиболее опасно нарушение условия (1.86) при па .п,—п,. В этом случае матрица жесткости будет содержать лишние нулевые собственные значения и конечный элемент превратится в механизм. [c.25] Пример разработки конечного элемента на основе смешанной вариационной формулировки дается в разделах 3.5, 4.4 5.5. [c.25] Кинематические компоненты в сечении одномерной системы будем характеризовать вектор-столбцом обобщенных перемещений X. С помощью компонент вектора X при стыковке отдельных элементов обеспечивается необходимая гладкость решения и формируются главные граничные условия. Например, в расчетах тонкостенных оболочек вращения под компонентами вектора обобщенных перемещений выступают перемещения и углы поворота нормали к базовой поверхности. [c.26] Это дифференциальное уравнение связи (1.92) будем учитывать как дополнительное условие при выводе разрещающих уравнений. [c.27] В уравнении (1.93) под возможными перемещениями би и возможными деформациями бе будем понимать их представление, аналогичное (1.90), (1.91), т. е. [c.27] В предыдущем разделе было показано, как, используя последователЫные преобразования смешанных вариационных постановок задачи, удается формализовать процедуры получения канонических систем дифференциальных уравнений и матриц жесткости для Ьдномерных систем общего вида. Алгоритм вариационно-матричного способа получения канонических систем и матриц жесткости будет следующим. [c.31] Тогда после интегрирования (1. [c.32] Условие (1.119) можно использовать как необходимое, но, к сожалению, ие как достаточное для контроля за точностью численного интегрирования, т. е. если решение верно, то равенство (1.119) выполняется, если (1.119) не выполняется, то решение заведомо неверно. [c.33] Заполнение матрицы фундаментальных решений о можно представить так. На участке (S(d, S(2)) одномерной системы решается задача Коши при Hi = H2 = 0 (1.107) при начальных условиях, когда только j-я компонента вектора состояния в первом сечении [X(d , X(n F равна единице, остальные компоненты— нули. В результате интегрирования (1.107) в сечении s = =5(2) получим определенный вектор состояния. Этот вектор заносится как /-Й столбец в матрицу о). Получив решения всех 2п задач с единичными условиями, полностью заполним матрицу фундаментальных решений. Вектор частного решения получается после интегрирования неоднородного уравнения (1.107) при нулевых начальных условиях. [c.33] Вернуться к основной статье