ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Операторные соотношения из "Численные методы в теории упругости и пластичности " Дальнейшее развитие общих уравнений механики сплошной сре- ды будет дано после введения определяющих операторных соотношений. [c.21] В уравнениях движения (2.9) массовые силы считаются известными, а компоненты вектора перемещения щ и симметричного тензора напряжения r,-j — неизвестными величинами. Если рассматриваются изотермические процессы, то для замыкания системы уравнений МДТТ необходимо задать физические соотношения между напряжениями и деформациями (определяющие соотношения) в виде некоторой операторной связи. В существовании такой операторной связи сомневаться не приходится хотя бы потому, что изменение деформированного состояния влияет на изменение напряженного состояния. Однако понятие операторной связи требует некоторого уточнения. [c.21] В случае, если значение тензора 6 в момент времени t зависит от значения процесса а только в момент времени t, будем говорить, что (3.4) является функцией процесса а. В этом случае вместо JF можно писать F. [c.22] Процессы, кот.орые входят в определение оператора f и которые должны для каждой теории определяться экспериментально, называются материальными функциями. [c.22] Процессы, которые задаются как входные для определения материальных функций, называются пробными. Совокупность материальных функций называется индикатрисой оператора Порядок индикатрисы — это число материальных функций, которые полностью определяют оператор f. [c.22] Если m — минимальное число значений (3.6), по которым полностью определяется вид оператора (3.3), то процессы (3.5), называются пробными, а величины (3.6) — индикатрисой опера тора (3.3), а число т — порядком этой индикатрисы. Порядок индикатрисы зависит от структуры оператора f, в частности от группы симметрии преобразований в R3, относительно которой оператор (3.3) является инвариантным. В случае линейного оператора f числа пит равны единице, а индикатриса U( ,t) является тензором четвертого ранга. В самом деле, каждой компоненте подобного процесса а в некоторой системе координат пространства R3 соответствуют шесть компонент тензора индикатрисы Если индикатриса имеет конечный порядок, то построенный оператор f определяет модель МЛТТ. [c.23] Упражнение 3.3. Доказать, что индикатриса циклически замкнутого линейного оператора имеет разностный вид [76, с. 100], т.е. [c.24] Заметим, что если оператор Т представйм в окрестности процесса а в виде ряда Тейлора, то под Л в выражении (3.17) понимается т-я тензорная функциональная производная в данной точке (которая является тензором ранга 2(т + 1)), поделенная на т . [c.25] Очевидно, для того чтобы тензорный оператор Т, представимый в виде (3.18), был инвариантен относительно группы преобразовав ний S, необходимо, чтобы каждал т-линейная однородная форма была инвариантна относительно S. [c.26] Если под S понимается полная группа движения трехмерного евклидова пространства, то тензорный оператор, удовлетворяющий уравнениям (3.4), (3.20) для всякой ортогональной матрицы Q, называется изотропным. [c.26] Скалярной степенью т этого же тензора а называется след тензора (3.21), т.е. [c.26] Если оператор f аналитический (т.е. существуют все его функциональные производные), то его всегда можно представить в виде (3.18). Легко видеть, что выполнение условий взчлмности эквивалентно потенциальности опе атора Т. [c.26] Предположение о квази-т-линейности оператора f называется постулатом квази-т-линейности. [c.26] Пользуясь понятием полного рационального матричного базиса [84], можно и в этом случае дать представление оператора (3.26) в виде, аналогичном (3.18). Естественно считать, что f называется квазилинейным по а, если полученное его представление содержит только члены, линейные по тензорному аргументу д. [c.27] Вернуться к основной статье