ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование прямой в прямую из "Введение в теорию нелинейных колебаний " В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окрун ности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений. [c.282] Точки пересечения графика на рис. 7.29 с биссектрисой определяют неподвижные точки преобразования, т, е. точки, преобразующиеся в себя. Такими точками на рис. 7.29 являются точки Mf и М . При этом точка М является неустойчивой, а точка Л1 — устойчивой, поскольку точки, близкие к точке Mf, преобразуются согласно диаграмме рис. 7.29, отдаляясь от точки М, а точки, близкие к УИ, — напротив, приближаясь к ней. [c.283] Взаимная однозначность означает, что каждому значению X, согласно (7.40), отвечает единственное значение Я и что ни при каких различных х п у не может иметь места равенство f (х) = f (у). Из этого следует, что функция / (х) монотонно меняется с монотонным изменением х и что, следовательно, для всех х либо / (х) О, либо / (х) 0. [c.285] Этих сведений достаточно для того, чтобы прийти к выводу о том, что в рассматриваемом случае вся прямая разбивается на области притяжения двукратных неподвижных точек и, возможно, одну область притяжения однократной неподвижной точки, если неподвижная точка X устойчивая. [c.287] Пример точечного отображения, соответствующий рассматриваемому случаю, приведен на рис. 7.33. [c.287] На рис. 7.34 и 7.35 изображены фазы двух различных типов бифуркаций взаимно однозначного отображения, для которого / (х) 0. На рис. 7.34 изображена бифуркация, при которой происходит рождение или исчезновение двух циклов из двукратных неподвижных точек. Рис. 7.35 изображает бифуркацию смены устойчивости однократной неподвижной точки, при которой одновременно происходит рождение или исчезновение цикла двукратных неподвижных точек. [c.287] В качестве следующего примера приведем отображение отрезка [О, 1] на себя с графиком, изображенным на рис. 7.37. Обратное ему отображение 7 двузначно, так что любому зе соответствует два различных значения j х- = (х) и X., = g., (х). Каждое из отображений и преобразует отрезок 10, 1] в себя. В силу этого, как и в предыдущем примере, отображение Т имеет бесчисленное множество всевозможных кратных неподвижных точек. [c.290] ПЛОТНОСТИ вероятности ф (х). Чем точнее задание начального значения х, тем острее плотность распределения вероятностей. Плотности вероятности ф (х) в виде 6-функции соответствует точное задание начального значения. [c.292] например, точке л , согласно рис. 7.38, соответствует последовательность 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1,. .. Это соответствие однозначно. Оказывается, что оно и взаимно однозначно. Более того, оказывается, что для любой последовательности (7.47) из единиц и двоек можно найти точку лг , которой она соответствует. Доказательство этих, на первый взгляд весьма удивительных утверждений, может быть получено сравнительно просто и опирается на довольно общие утверждения, значительно выходящие за рамки рассматриваемого примера. Эти общие утверждения составляют основу так называемого символического описания точечного отображения и символической динамики (35], о которой применительно к рассматриваемому примеру пойдет речь. [c.293] Вернуться к основной статье