ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об основных свойствах решений уравнений теории оболочек из "Линейная теория тонких оболочек " Радиусы кривизны срединной поверхности имеют размерность длины. Что касается параметров Ляме А , А , то они могут быть как размерными, так и безразмерными (в зависимости от размерности криволинейных координат а. , а ). Будем считать их в дальнейшем имеющими размерность длины, а криволинейные координаты а , ttj, в соответствии с этим, — безразмерными. [c.77] Для тонких оболочек Я, 1, тем самым в системе (1.188) имеются члены, умноженные на малый параметр, что открывает возможности для построения ее приближенных решений. [c.77] Отсюда можно сделать вывод, что утрачиваемые при переходе от системы (1.188) к системе (1.191) части общего решения должны обладать быстрой изменяемостью хотя бы по одной из криволинейных координат. Это действительно так, однако следует оговориться, что роль членов системы (1.188), имеющих малый множитель Я, , может быть иногда существенной и при достаточно гладких решениях (например, если напряжения от изгиба оболочки значительно превосходят напряжения от усилий). Для выявления и приближенного определения быстро изменяющихся решений системы (1.188) может быть использован метод асимптотического интегрирования, суть которого продемонстрируем на простейшем примере. [c.79] Изложенные выше на простейшем примере соображения могут быть распространены и на более сложные задачи на уравнения более высокого порядка, на системы уравнений, на уравнения в частных производных. В последнем случае возможность их использования будет зависеть не только от свойств самого уравнения, но и от свойств того контура, на котором ставятся краевые условия. [c.81] В теории оболочек метод асимптотического интегрирования применяется уже давно. На его основе удалось разработать эффективные методы расчета осесимметричной деформации оболочек вращения [221, 249]. Далее он был перенесен на ограниченные одним или двумя параллельными кругами оболочки вращения, испытывающие деформацию общего вида [84, 251]. Первая попытка применить его к оболочкам произвольной формы была сделана С. М. Фейнбергом. Детальная разработка соответствующей теории была дана А. Л. Гольденвейзером [38, 40, 41 ], который рассматривает метод асимптотического интегрирования как универсальный прием, позволяющий, с одной стороны, строить приближенные решения задач теории оболочек, а с другой — классифицировать данные задачи с качественной стороны, обнаруживая при этом возможности упрощения общих уравнений теории оболочек, допустимые в тех или иных конкретных случаях. [c.81] Недостатком такой теории является, однако, то, что, будучи громоздкой, она в то же время недостаточно обща. Объясняется это тем, что возможности асимптотического метода ограничены и находятся (как видно из приведенного выше элементарного примера) в существенной зависимости от свойств коэффициентов дифференциальных уравнений (а для уравнений в частных производных и от свойств тех границ, на которых задаются краевые условия). Надо добавить также, что принятие быстроизменяющейся части решения в экспоненциальной форме (как это делает А. Л. Гольденвейзер) не исчерпывает всех возможностей асимптотического метода. Иногда удается строить асимптотические решения на базе других быстроизменяющихся функций (например, при расчете торообразных оболочек и решении некоторых задач сферической оболочки для этой цели успешно можно применить Бесселевы функции). [c.81] Подводя итог изложенному, надо подчеркнуть, что асимптотический метод по идее весьма прост. Достаточно рассмотреть несколько примеров его применения, чтобы научиться самостоятельно пользоваться им в конкретных задачах и различать те случаи, когда это возможно. Возможности данного метода будут показаны на примерах ниже. [c.82] 10 будут продемонстрированы некоторые возможности асимптотического метода на основе уравнений теории оболочек в комплексной форме. [c.82] Глава посвящена традиционным вопросам расчета и проектирования оболочек, работающих в условиях безмоментного напряженного состояния. Обсуждаются требования, которым должны удовлетворять форма оболочки, условия закрепления ее краев и внешняя нагрузка, с тем, чтобы в ней реализовывалось без-моментное напряженное состояние. Достаточно детально рассматриваются вопросы расчета и проектирования сосудов давления, куполов, перекрытий. К нетрадиционному материалу можно отнести аналитическое описание метода аффинного преобразования и простой способ определения напряжений в углах полигональных перекрытий. Изложенный в главе метод а инного преобразования используется во второй части книги (гл. 15) для расчета напряженного состояния в эллипсоидальном куполе с опорным кольцом жесткости. Более сложные вопросы безмоментной теории оболочек также вынесены во вторую часть книги (гл. 9). [c.82] что данное пренебрежение будет обоснованным либо когда весьма мала жесткость оболочки на изгиб, либо когда весьма малы изменения кривизны и кручение срединной поверхности. [c.83] В первом случае мы будем иметь равновесие абсолютно гибкой оболочки (мембраны), а во втором — безмоментное напряженное состояние оболочки, обладающей конечной жесткостью на изгиб. Хотя обе эти задачи охватывает одна и та же теория, тем не менее между ними следует делать различие, поскольку они имеют специфические особенности. Так, абсолютно гибкая оболочка (например, матерчатая) совершенно не в состоянии воспринимать сжимающие усилия, ибо всякое сколь угодно малое сжатие будет вызывать потерю устойчивости ее форм, т. е. образование на ней складок. Поэтому расчет подобной оболочки будет соответствовать истине лишь в том случае, если во всех сечениях усилия получаются растягивающими. Данное условие является, например, основным требованием, которому должен удовлетворять корпус мягкого (или полужесткого) дирижабля при проверке его продольной прочности. [c.83] Оболочки с конечной жесткостью на изгиб, в отличие от абсолютно гибких оболочек, могут находиться в безмоментном напряженном состоянии при наличии в них как растягивающих, так и сжимающих усилий. Они будут терять устойчивость лишь после того, когда сжимающие усилия в них превзойдут некоторое критическое значение. Если для абсолютно гибких (мягких) оболочек безмоментное напряженное состояние является единственно возможным, поскольку они не обладают сопротивлением изгибу, то для оболочек конечной жесткости такое напряженное состояние является только одним из возможных напряженных состояний и для его существования необходимо выполнение ряда условий, касающихся формы оболочки, характера действующей на нее нагрузки и закрепления ее краев. [c.83] Оболочки обладают аналогичным преимуществом перед пластинами, с той, однако, существенной разницей, что если арка заданной формы способна нести без изгиба лишь вполне определенную нагрузку, то оболочка заданной формы обладает тем же свойством для широкого круга нагрузок, удовлетворяющих лишь весьма общим требованиям, если ее края надлежащим образом закреплены. Именно это свойство оболочек— работать, при соблюдении некоторых условий, без изгиба или, точнее, при незначительных изгибах — определяет то широкое практическое применение, которое они получили в различных областях техники. Следует подчеркнуть, что понятие безмоментного напряженного состояния отнюдь не обязательно связано с бесконечно большой гибкостью оболочки (и тем самым — с бесконечной малостью ее толщины). Даже толстая оболочка, при соблюдении надлежащих условий, может работать в безмоментном напряженном состоянии (в том смысле, что напряжения изгиба в ней будут в RJh раз меньше напряжений от усилий). [c.84] Условия существования безмоментного напряженного состояния будут выяснены ниже. Эти условия, однако, не всегда могут быть конструктивно выполнены, и тогда на безмоментное поле напряжений будет накладываться поле смешанного типа, в котором, наряду с напряжениями от усилий, будут иметь место сравнимые с ними по величине изгибные напряжения. Возможен и третий случай, когда напряжения от моментов существенно превосходят напряжения от усилий. Однако такое напряженное состояние невыгодно, так как оболочки, ввиду их малой толщины, обладают малой прочностью прн чистом изгибе и весьма податливы данному виду деформации. На практике всегда стремятся не допустить возникновения в оболочке поля напряжений, близкого к чистому изгибу. Из всего сказанного следует, что безмоментное напряженное состояние занимает почетное место в расчете оболочек, являясь тем (иногда, к сожалению, недостижимым) идеалом, к которому надо стремиться, проектируя оболочки и их опоры. [c.84] Остановимся вкратце иа этапах развития безмоментной теории. Истоки ее восходят еще к трудам Г. Ламе и Э. Клапейрона [256], которые рассматривали симметрично нагруженные оболочки вращения. В общем виде уравнения безмоментной теории были установлены Э. Бельтрами [228] и Л. Лекорню [258]. [c.84] Дифференциальные уравнения безмоментной теории легко интегрируются для оболочек нулевой гауссовой кривизны (в частности, для цилиндрических оболочек). Не доставляют затруднений также практически важные случаи осесимметричной и ветровой нагрузок (для оболочек вращения). Оболочки вращения, нагруженные произвольно, были исследованы В. 3. Власовым [12, 17], В. В. Соколовским [178] и другими авторами. Безмоментная теория оболочек, срединные поверхности которых являются поверхностями второго порядка, была разработана В. 3. Власовым [12, 13 ], применившим к этой задаче аппарат теории функций комплексного переменного. [c.85] Как видно, смещения ы , Ыг , ш обращают в нуль удлинения и сдвиги срединной поверхности. Отсюда ясно, что данные смещения могут быть только либо смещениями чистого изгиба оболочки, либо смещениями оболочки как твердого целого. [c.86] Следовательно, в общем решении уравнений безмоментной теории всегда присутствуют смещения чистого изгиба на равных правах со смещениями оболочки как твердого тела. Физически это означает, что абсолютно гибкая оболочка допускает появление данных смещений, не оказывая им никакого сопротивления. [c.86] Принципиальная возможность неопределенности величины смещений в безмоментной теории и вытекающая отсюда необходимость их ограничения, являющаяся одним из условий существования безмоментного напряженного состояния, отражаются на формулировке граничных условий в безмоментной теории, что будет выяснено в следующем разделе. [c.87] Система дифференциальных уравнений (2.3), определяющая в безмоментной теории усилия, имеет второй порядок. Соответственно второй порядок имеет и система (2.4), определяющая смещения. Однако входящие в правые части уравнений этой системы усилия сами являются решениями системы второго порядка. [c.87] Вернуться к основной статье