ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод функциональных уравнений из "Неодномерные упругопластические задачи " Пусть на неизвестном замкнутом контуре L в плоскости комплексного переменного z = х -У iy заданы вторые производные бигармонической функции, являющиеся известными функциями координат хму. Требуется определить границу L и бигармоническую функцию, К такой математической постановке сводится упругопластическая задача для тела, находящегося в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния, в том случае, когда пластическая зона целиком прилегает к контуру тела, так как напряжения в пластической области, как правило, определяются непосредственно по граничным нагрузкам [36—38]. К аналогичной математической задаче приводятся некоторые задачи выпучивания пластин и разрушения материалов. В случае, когда заданные граничные функции являются соответствующими вторыми производными бигармонической функции задача может быть решена методом Л.А. Галина [1]. Рассмотрим другой метод решения некоторого класса указанных задач [39], в котором граничные функции могут и не удовлетворять последнему условию. [c.8] Здесь /1 (х, у) и /2 (х, у) - непрерывные функции, известные из решения соответствующей задачи теории пластичности (первая из них действительная, вторая — комплексная). [c.9] Таким образом, требуется найти контур L и функции (z) и I (z) на основании краевых условий (1.2.1) и (1.2.2). [c.9] Совершенно аналогично ставится внутренняя плоская упругопластическая задача, когда упругая область занимает внутренность контура (при этом потребность в условии (1.2.1), естественно, отпадает). Везде в дальнейшем для краткости будем рассматривать только внешнюю упругопластическую задачу. [c.9] Рассмотрим второе краевое условие (1.2.4). Оно представляет некоторое конечное уравнение относительно со (f ). [c.10] В указанном только что предложении условие аналитичности функции х(0 во внешности единичного круга является апостериорным. Укажем прием, который удобно использовать при практическом применении упомянутого предложения. [c.10] Предложение 2. Пусть функция со (О является аналитической во всей плоскости f, за исключением бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс первого порядка, и, может быть, конечного числа изолированных точек однозначного характера, расположенных внутри единичного круга I f I 1 Тогда второе краевое условие (1.2.4) может быть аналитически продолжено во внешность единичного круга I f I 1 при помощи функционального уравнения (1.2.10). [c.11] Таким образом, необходимым признаком того, что функция w(f) имеет вид (1.2.9), является аналитичность правой части функционального уравнения (1.2.10) во внешности единичного круга I f I 1 за исключением конечного числа особых точек однозначного характера. Этот признак будет и достаточным, если особенности правой и левой частей функционального уравнения (1.2.10) можно выбрать так, чтобы они совпадали. Этот признак позволяет иногда весьма просто находить замкнутые решения краевой задачи (1.2.10) и в том случае, когда неизвестно, аналитична ли функция р2 [w(0, w(l/f)] при I f I 1- Для этого следует формально подставить выражения (1.2.9) и (1.2,11) для функций со(0 и 5(l/f) в функциональное уравнение (1.2.10), потребовать аналитичности функции 2 [с (0. (1/0] почти всюду в I П 1 и приравнять особенности левой и правой частей функционального уравнения (1.2.10). [c.11] Если некоторым выбором неопределенных коэффициентов и функций этим условиям можно удовлетворять, то существование решения (1.2.9) является доказанным. [c.11] Выясним, в какой мере и при каких условиях функциональное уравнение (1.2.13) может заменить исходное граничное условие (1.2.12). Имеет место следу ощая теорема [41]. [c.12] Теорема. Пусть коэффициенты задачи д,-(0 и функция со (О представляют собой функции, аналитические в полной плоскости f, за исключением конечного числа изолированных особых точек, а /(со, со, Дь. .., д ) — аналитическая функция всех своих аргументов, за исключением конечного числа изолированных особых точек. Тогда 1) функциональное уравнение (1.2.13) справедливо в полной плоскости f 2) всякое решение функционального уравнения (1.2.13) в указанном классе функций удовлетворяет граничному условию (1.2.12) и наоборот. [c.12] Теорему нетрудно доказать, используя аналитическое продолжение и теорему единственности аналитических функций. Можно обобщить ее также для класса ф)шкций, естественная граница которых отлична от выколотых точек и является некоторой областью. Аналогичная теорема справедлива для системы граничных условий и нескольких искомых ф)шкций. [c.12] Для решения функционального уравнения естественно разложить все аналитические ф)шкции в ряды в окрестности некоторой точки и свести задачу к решению получающейся бесконечной.системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В некоторых случаях бесконечная система вырождается в конечную, и тогда решение исходной задачи удается получить в замкнутом виде. [c.12] Некоторые конкретные примеры решения различных функциональных уравнений типа (1.2.12) приведены в гл. 1, 2,4. [c.12] Вернуться к основной статье