ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Действия и ад тензорами различного ранга из "Механика сплошных сред " В большинстве случаев, там где нет специальных оговорок, все понятия рассматриваются в правом, прямоугольном, декартовом множестве осей координат и термин тензор обычно будет означать декартов тензор . [c.235] Прежде чем дать определение тензора, вспомним некоторые сведения из векторной ажебры, обобщение которых приведет к понятию тензора произвольного ранга. [c.235] В трехмерном пространстве, определяемом тремя отрезками (ортами) единичной длины, направленными по координатным осям Xi вектор а считается заданным, если заданы три его проекции (компо-н пы) Oi на направления А -тых ортов а = а е. [c.235] Если норма вектора равна нулю, то такой вектор называется нулевым, а если единице, то единичным или нормг оваииым. Нулевой вектор не имеет направления. [c.235] Введем понятие обобщенного символа е. Т.Леви-Чивиты произвольного ранга тот индексами. Каждый из таких символов также, как и обычный символ (П1.4), может принимать только три значшия +1, О, -1. При одинаковых цифровых значениях хотя бы двух любых индексов обобщшный символ Т.Леви-Чивиты произвольного ранга равен нулю. [c.236] Приведем некоторые сведения из теории матриц. [c.238] В квадратной матрице компоненты с одинаковыми числошыми значениями индексов (j=k) составляют главную диагональ, а сами ком-понешы называются диагональными. Остальные компоненты матрицы называются боковыми. [c.238] Пусть в щюстранстве задан вектор а с компонентами а,,аа)ъ старом и новом множествах координат соответственно. Сам вектор в любых множествах координат остается неизменным, т.е. [c.239] Теперь дадим определение скаляра и вектора с позиции тензорной алгебры. [c.239] Тензором первого ранга (вектором) в Л -мерном щюстранстве называется математическая величина, характеризуемая N (Л =ЛГ) компонентами fly, каждая из которых щ)и повороте множества координат с помощью матрицы косинусов ((а )) (П1.17) преобразуется по закону (П1.24). [c.239] Величины, которые не меняются в результате какого-либо преобразования, называются инвариантами по отношению к этому преобразованию. В частности, тензор нулевого ранга инвариантен (П1.25) к повороту множества координат. [c.239] Для новых математических величин Т а сохраним структуру определения уже известных тензоров нулевого и первого рангов. [c.240] Тааором ранга н в ЛГ-мерном пространстве называется математическая величина, характеризуемая N компонентами каждая из которых при повороте множества координат с помощью матрищ 1 косинусов ((ау ) (П1.17) преобразуется по закону (П1.26). [c.240] Иногда вместо ранга тензора говорят валентность тензора. [c.240] Любая допустимая комбинация, в том числе линейная, изотропных тензоров образует изотропные тензоры. [c.241] Любое дшствие, в котором участвуют различные тензоры, возможно только в том случае, когда матрицы этих тензоров записаны в одном и том же множестве координат. [c.241] Тензорное произведение двух векторов (П1.38) называется диадой и отличается от любого другого тензора второго ранга тем, что к-е ком-понопъ 0-0 j-й строки пропорциональны j-й компоненте первого сомножителя, а j-e компоненты его к-го столбца пропорциональны А -той компоненте второго сомножителя. [c.244] Вернуться к основной статье