ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные колебания системы с одной степенью свободы из "Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2 " Механическая система называется системой с одной степенью свободы, если ее положение в пространстве может быть однозначно определено заданием одной величины д, называемой обобщенной координатой. Движение системы в пространстве при этом описывается зависимостью обобщенной координаты от времени. [c.585] Принимая положение устойчивого равновесия за начало отсчета обобщенной координаты и за нулевой уровень потенциальной энергии, рассмотрим малые движения системы около этого положения равновесия. Отклонение системы от положения равновесия при таком выборе начала отсчета будет определяться значением обобщенной координаты. [c.585] Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585] Эта постоянная всегда положительна. Ее называют инерционным коэффициентом. Для линейных обобщенных координат инерционный коэффициент а имеет размерность массы, для угловых координат — размерность момента инерции твердого тела. [c.586] Свободные, или, иначе, собственные колебания системы, определяемые уравнением (12 ), являются гармоническими колебаниями. Их частота и период не зависят от начальных данных — это свойство называется изохронностью малых колебаний. [c.587] Следует заметить, что дифференциальное уравнение свободных колебаний (И ) может быть, конечно, составлено и без применения уравнений Лагранжа. [c.587] При решении задач на свободные колебания системы с ОДНОЙ степенью свободы рекомендуется следующий порядок действий. [c.588] Задача 448. Груз веса Р подвещен к нерастяжимой нити АВ, перекинутой через блок с неподвижной осью О. Вес блока Р. Его масса распределена равномерно по поверхности круга радиуса г. Конец нити В прикреплен к вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой равен с. Определить колебания груза, если в начальный момент груз находился в покое, его вес уравновешивался натяжением пружины и ему сообщили начальную скорость Фа, направленную по вертикали вниз. Трением между осью блока и подщипниками пренебречь. Весом нити пренебрегаем. [c.588] Задача 449. Полушар веса Q и радиуса г удерживается в равновесии на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости нитью АВ. При этом плоская часть поверхности полушара составляет угол % с горизонтом (рис. а). Определить после обрыва нити АВ скорость центра О и ее максимальное значение, наибольшее давление полу-шара на горизонтальную плоскость. Найти также, полагая угол а малым, приведенную длину эквивалентного математического маятника. [c.590] В левой части равенства стоит выражение кинетической энергии в конце перемещения (в начальный момент кинетическая энергия полушара равнялась нулю, так как он находился в покое). В правой части подсчитана работа силы тяжести при переходе полушара из начального положения в конечное. Работа реакции Ы равна нулю, так как эта реакция направлена перпендикулярно к перемещению точки ). [c.591] Для определения давления полушара на горизонтальну ю плоскость составим дифференциальное уравнение движения центра инерции в проекции на вертикальную ось у. [c.592] Первый метод решения данной задачи несколько быстрее ведет к цели, но правильный выбор той или иной общей теоремы динамики существенно зависит от содержания задачи и требует некоторого навыка. Второй путь — составление уравнений Лагранжа — несколько более длинный, но является универсальным способом, применимым к любым системам, подчиненным идеальным голономным связям. [c.594] Вернуться к основной статье