ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость равновесия системы из "Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2 " Равновесие системы материальных точек называется устойчивым, если после сообщения точкам системы весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых начальных скоростей система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от рассматриваемого равновесного положения. [c.580] Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580] Если в положении равновесия значение потенциальной энергии не является минимальным, то для суждения об устойчивости равновесия следует применить теоремы А. М. Ляпунова, которые формулируются следующим образом. [c.580] Задача 447. Однородный призматический брус веса Я квадратного сечения со стороной, равной а, опирается своими боковыми гранями на параллельные ребра двух опор, лежащие в одной горизонтальной плоскости на расстоянии й одно от другого, причем Ь ау 2 (рис. а). [c.581] Предполагая грани бруса гладкими, найти возможные положения равновесия и опорные реакции, соответствующие этим положениям. Определить условия устойчивости положений равновесия. [c.581] Решение. Рассмотрим равновесие призматического бруса, находящегося в консервативном силовом поле тяжести. Отбрасываем мысленно опоры и заменяем их действие реакциями Яд и Яд (рис. б). [c.581] Выбираем далее обобщенную координату, определяющую положение бруса. За обобщенную координату принимаем угол 6, образованный диагональю вертикального поперечного сечения бруса с вертикалью. [c.582] В противном случае положение равновесия неустойчиво. [c.583] Возможные положения равновесия твердого тела могут быть определены и другим путем. Составим три уравнения равновесия для произвольного положения бруса (рис. б), определяемого углом 6. [c.583] Первое решение соответствует симметричному положению бруса, при котором его грани наклонены под углом 45° к горизонту. [c.584] Второе решение возможно, если а 2 ]/2. При а = 2 /2 находим os 02=1, т. е. sin 02 = о, и мы возвращаемся к первому случаю. [c.584] Сопоставляя оба способа решения, видим, что первый способ позволяет прямым путем определить возможные положения равновесия системы и характер устойчивости этих положений равновесия. Однако этот способ не приводит к нахождению реакций опор. Второй способ позволяет непосредственно определить возможные положения равновесия системы и соответствующие им реакции опор, но не оценивает устойчивости равновесия системы и характер устойчивости этих положений равновесия. [c.585] Конечно, после определения реакций и положений равновесия по этому способу для ответа на вопрос об устойчивости равновесия надо вернуться к теореме Лагранжа — Дирихле. [c.585] Вернуться к основной статье