ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие сведения. Теоремы из "Торсовые поверхности и оболочки " Торсовой называется поверхность, которая может быть развернута на плоскость всеми ее точками без складок и разрывов, при этом длины кривых и углы между любыми кривыми, принадлежащими поверхности, не изменяются. Простейшими примерами торсовых поверхностей являются цилиндрические и конические, однако они не исчерпывают всего класса торсовых поверхностей. [c.6] Приведем без доказательств общеизвестные тео)ремы, относящиеся к во.просам геометрии торсовых поверхностей (торсов). Интересующиеся доказательствами приводимых теорем могут их найти в книге М. Я. Выгодского [1]. [c.6] Теорема 1. Всякая поверхность касательных есть развертывающаяся (торсовая) поверхность. [c.6] Теорема 2. Всякая развертывающаяся поверхность есть либо цилиндрическая, либо коническая, либо поверхность касательных. [c.6] Теорема 3. Направляющая поверхности касательных является ее ребром возврата. [c.6] Таким образом, в общем случае торс представляет собой геометрическое место касательных к своему ребру возврата. Ребро возврата поверхности называют также стрикционной линией торса. Любую пространственную кривую можно принять за ребро возврата, касательные к которому будут образовывать торсовую поверхность. У конических поверхностей ребро возврата вырождается в точку — вершину конуса, у цилиндрической поверхности ребро возврата вырождается в несобственную точку, т. е. эта точка удаляется на бесконечность. Поверхность главных нормалей и поверхность бинормалей ни для какой неплоской линии не могут быть развертывающимися. [c.6] Поверхность бинормалей кривой представляет собой торс только в том случае, когда кривая — плоская. Линейчатая поверхность в этом случае будет цилиндрической, нормальной к плоскости кривой. [c.6] Если за ребро возврата принять плоскую линию, то полученная торсовая поверхность вырождается в плоскость. [c.7] Теорема 4. Из всех торсов только плоскость представляет собой минимальную поверхность. [c.7] Теорема 5. Если при изгибании торсовой поверхности прямолинейные образующие остаются прямолинейными образующими, то кривизна ребра возврата остается в каждой точке неизменной. [c.7] Непрерывно уменьшая кручение н сохраняя кривизну ребра возврата, можно развернуть торс на плоскость. В этом случае пространственная к]ривая (ребро возврата) вырождается в плоскую, кручение которой равно нулю. Прямолинейные образующие торса, касательные к ребру возврата, останутся касательными и к Ш10СКОЙ кривой. [c.7] Развертки торсов общего вида отличаются от цилиндров и конусов тем, что их. прямолинейные образующие не пересекаются в одной точке, как в развертке конуса, и не параллельны, как в развертке цилиндра. [c.7] Теорема 6. Если поверхность образована непрерывным семейством линий, вдоль каждой из которых касательная плоскость остается неизменной, то эта поверхность является либо цилиндрической, либо конической, либо поверхностью касательных, а каждая из упомянутых линий есть прямолинейная образующая. [c.7] Теорема 7. Всякое однопараметрическое семейство плоскостей (за исключением пучка плоскостей, проходящих через некоторую ось или параллельных между собой) имеет огибающую поверхность, которая представляет собой торсовую поверхность. [c.7] Плоскости семейства являются соприкасающимися плоскостями ребра возврата. Соприкасающаяся плоскость проходит через касательную и главную нормаль кривой. [c.7] Теорема 8. Любая точка ребра возврата поверхности касательных есть предел точки пересечения трех бесконечно близких касательных плоскостей развертывающейся поверхности. [c.7] Теорема 9. При изгибании торса на плоскость все его геодезические линии становятся прямыми. [c.7] Теорема 10. Если при изгибании торса на плоскость линия становится прямой, то она есть геодезическая линия поверхности. [c.7] Теорема 11. На каждой развертывающейся поверхности через любую ее точку в любом направлении можно провести геодезическую линию. [c.7] Теорема 12. Если дуга линии есть кратчайший путь между двумя точками торсовой поверхности, то эта линия есть геодезическая линия. [c.7] Вернуться к основной статье