ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Матрицы определяющих соотношений и определение напряжений из "Нелинейное деформирование твердых тел " Более сложным является выбор меры приращений деформаций и напряжений. Дело в том, что когда рассматриваются приращения компонент тензоров, они, как в момент времени t, так и в момент времени t + At, должны относиться к одной и той же конфигурации [88]. Поэтому корректная UL-формулировка уравнений заключается в использовании приращений компонент тензоров tSij и tEij. Нельзя применять в качестве приращений компонент тензора деформаций величины , так как они относятся к различным конфигурациям. То же самое касается приращений компонент тензора напряжений Коши - Sij. [c.195] Они входят в класс определяющих соотношений упругого материала. [c.197] Отметим, что эта гипоупругая модель материала с ULJ-формулировкой получается как частный случай из ULJ-формулировки для упругопластической модели материала, когда предел текучести материала берется достаточно большим ( 6.2.4). [c.198] Геометрически нелинейное деформирование тела из линейного упругого материала можно представить одной из трех формулировок TL, UL, ULJ. Первые две формулировки имеют преимущество перед третьей, так как в них по известным деформациям напряжения вычисляются точно. При интегрировании определяющих соотношений (6.18) вносится неустранимая погрешность, связанная с шагом интегрирования At, которая уменьшается с уменьшением этого шага. [c.198] Для ортотропного линейного упругого материала (соотношения для этой модели здесь не приводятся) выгоднее использовать TL-формулировку по сравнению с UL-формулировкой, так как направления осей материала в элементе по отношению к декартовой системе отсчета в начальной конфигурации остаются неизменными. Поэтому компоненты матрицы q не меняются при деформировании элемента. В то же время для UL-формулировки надо постоянно пересчитывать компоненты матрицы С (см. 2.1.3). [c.199] Здесь G — некоторая функция типа (6.20) е О — заданная достаточно малая величина (параметр штрафа) к — некоторая константа, которая определяется ниже. Предполагая, что второй член в правой части (6.21) имеет конечную величину, получаем, что 0(1з) —) О при б —) 0. Потенциал (6.21) соответствует решению задачи с условием несжимаемости методом штрафных функций. Чем меньше параметр е, тем лучше удовлетворяется условие несжимаемости. [c.200] Рассмотрим потенциал (6.21) как функцию инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа, т. е. [c.200] Так как при использовании потенциала (6.22) вместо несжимаемого рассматривается сжимаемый материал, то компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа определяются по формулам (2.14) с помощью потенциальной функции (6.22). [c.200] Отметим, что в (6.24) не используется симметрия компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа, так как в (2.14) эти компоненты предполагаются независимыми. [c.200] 26) предполагается, что /3 определяется третьей формулой (6.25). [c.201] Здесь V играет роль коэффициента Пуассона и е —О при v 0,5. Отметим, что условие I/ = 0,5 является условием несжимаемости для линейного упругого материала. [c.203] Значение с = О соответствует тому, что вектор напряжений либо находится внутри области, ограниченной поверхностью текучести (упругое деформирование), либо направлен внутрь этой области, что соответствует разгрузке. [c.205] Интегрирование определяющих соотношений с момента времени t до t + At для отыскания компонент налряжений можно проводить по алгоритму, приведенному в [49]. Для более точного интегрирования используется подынкрементальный метод, т. е. шаг по времени разбивается на подынтервалы и интегрирование проводится по явной схеме Эйлера в каждом подынтервале. [c.205] Следуя аргументам, приведенным в 2.2.2, прямой перенос формул, используемых в MNO-формулировке для определяющих соотношений упругопластического деформирования, в TL-формулировку можно проводить только для малых деформаций (но, возможно, больших перемещений и поворотов). [c.205] Для ULJ-формулировки карательный модуль Et берется с кривой одноосного деформирования, построенной в осях логарифмическая деформация - истинное напряжение . [c.206] Отметим, что при отсутствии деформаций ползучести ( 7 = 0) для идеального упругопластического материала Et = 0) и для материала с линейным упрочнением (Et = onst 0) уравнение (6.48) решается в явном виде без применения метода бисекции. [c.209] При отсутствии деформаций ползучести приведенный выше алгоритм входит в класс алгоритмов интегрирования напряжений для упругопластического материала методом отображения напряжений на поверхность текучести. Рассмотренный выше ESF-алгоритм является обобщением этого метода (с учетом деформаций ползучести). В [10, 89] проводится сопоставление метода интегрирования определяющих соотношений по явной схеме Эйлера (см. 6.2.4) с методом отображения напряжений на поверхность текучести (см. настоящий параграф). Отмечается преимущество последнего над первым. Например, в случае пропорционального нагружения последний метод дает точное решение для напряжений [89]. [c.209] Вернуться к основной статье