ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Связь критических нагрузок из "Нелинейное деформирование твердых тел " Предполагаем, что на осуществляется условие жесткой заделки й = О, так что под кинематически возможным полем скорости вектора перемещений понимается достаточно гладкое векторное поле, удовлетворяющее кинематическому граничному условию в (4.12). [c.139] При введенных вьппе ограничениях по деформированию тел, реализующихся для достаточно широкого класса задач, существуют связи между введенными ранее критическими нагрузками, которые и рассматриваются в настоящем разделе. [c.139] Из условий (4.30) следует в практическом смысле , что неравенство (4.29) является необходимым и достаточным условием устойчивости равновесных конфигураций. [c.140] Таким образом, для линейного тела справедлив статический критерий устойчивости равновесных конфигураций граница нагрузок, разделяющая устойчивые и неустойчивые равновесные конфигурации, соответствует наименьшей нагрузке собственного состояния Xeig. [c.140] Сравнивая функционалы оД в (4.31) и oleig в (4.10), приходим к выводу, что области их определений и значений совпадают и функционалы идентичны. Отсюда следует для линейного тела достаточный критерий отсутствия бифуркации решений совпадает с необходимым и достаточным критерием отсутствия собственных полей. [c.141] Теорема 3. Область значений функционала оhigi ) принадлежит области значений функционала о/ь(Ай). [c.142] Теорема 4. Для нелинейных (упругопластических) тел возможна бифуркация решений, соответствующих устойчивым равновесным конфигурациям. Такая бифуркация может происходить только при возрастающей нагрузке. [c.142] Доказательство. Принципиальная возможность бифуркации решений для устойчивых равновесных конфигураций следует из условия теоремы 3. Действительно, условие (4.9) при некотором значении нагрузки А может нарушиться, а условие (4.10) — остаться справедливым, т. е. бифуркация реше ний может произойти, а равновесные конфигурации останутся устойчивыми. [c.143] Предположим, что возможна бифуркация устойчивых решений при постоянной нагрузке А = О (симметричная бифуркация). Тогда существовало бы нетривиальное решение w однородной системы (4.14) и условие (4.10) было бы нарушено для поля вектора W. Пришли к противоречию с предположением о справедливости условия (4.10). [c.143] Некоторые задачи с бифуркацией решений для устойчивых равновесных конфигураций конструкций из упругопластического материала рассмотрены в [24, 84]. Таким образом, для нелинейного тела задача по определению бифуркации решений не сводится к задаче по определению собственных состояний. [c.143] Теорема 5. Если для нелинейного тела Хы/ Xeig, то потеря устойчивости квазистатического движения происходит с устойчивыми равновесными конфигурациями. [c.144] Доказательство. Из условия теоремы 1 (см. 4.2.2) следует, что при нагрузке Хы/ происходит потеря устойчивости квази-статических движений тела. При выполнении статического критерия потеря устойчивости равновесных конфигураций не происходит при А Xeig- Из соотношения критических нагрузок, представленного неравенством в условии теоремы, следует доказательство теоремы. [c.144] что задача по определению бифуркации решений для нелинейного тела не сводится к задаче по определению собственных состояний, затрудняет определение критических нагрузок потери единственности решения. В [47, 73, 79] вместо исследования на предмет бифуркации исходного нелинейного тела с потенциальной функцией оЕ предлагается исследовать линейное тело сравнения с потенциальной функцией qEl- Конструировать потенциал линейного тела сравнения можно опираясь на теорему сравнения Хилла [47, 73, 79]. [c.144] Из решения ряда задач по выпучиванию конструкций из упругопластического материала с однородным докритическим состоянием известно [б, 12, 24, 84], что касательно-модульные нагрузки, полученные по деформационной теории пластичности, оказываются меньше соответствующих нагрузок, полученных по теории пластического течения. Покажем, что такое соотношение имеет место для достаточно широкого класса задач. [c.145] Пусть известна некоторая последовательность равновесных конфигураций, соответствующая монотонно возрастающему значению параметра А и характеризуемая полем вектора перемещений и(А) и полем второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S(A). Эта последовательность конфигураций может быть получена, например, решением задачи (4.12), (4.2), (4.7) с использованием теории пластического течения с изотропным упрочнением материала с гладкой поверхностью текучести. Кроме того, для некоторых задач с однородным докритическим состоянием (основное решение) можно пренебречь изменением геометрии тела в основном решении (и(А) = 0), а компоненты тензора напряжений S(A) получать непосредственно из условий равновесия тела через известные внешние силы. Кроме того, в условиях пропорционального нагружения окрестностей материальных точек тела получаются совпадающие решения задач по теории пластического течения и по деформационной теории пластичности, приводящие к некоторой известной последовательности равновесных конфигураций. Обозначим через X[ и Af касательно-модульные нагрузки, полученные по теории пластического течения и деформационной теории пластичности соответственно. Тогда справедлива следующая теорема [32]. [c.147] Теорема 7. Для заданной последовательности равновесных конфигураций тела из упругопластического материала, соответствующей монотонно возрастающему парамет,ру X, справедливо соотношение касательно-модульных нагрузок х[. [c.147] Глава 4. Потеря устойчивости. .. [c.148] Таким образом, все главные миноры матрицы [Л ] неотрицательны, откуда следует, что квадратичная форма (4.43) неотрицательна. [c.149] Вернуться к основной статье