ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость плоской формы изгиба из "Основы теории пластичности " Явление потери устойчивости плоской формы изгиба упругих полос было изучено в работах Прандтля, Майчела, Тимошенко и других авторов. В современных конструкциях нередко допускаются при изгибе пластические деформации наконец, сами конструкции все чаще рассчитываются по предельным нагрузкам. В связи с этим вопрос об устойчивости плоской формы изгиба при упруго-пластических деформациях приобретает значительный практический интерес. [c.277] Мы рассмотрим верхнюю и нижнюю критические нагрузки. [c.277] Верхняя критическая нагрузка соответствует точке бифуркации равновесия при фиксированных значениях внешних сил] в сечениях полосы при выпучивании будут возникать области разгрузки. Нижняя критическая нагрузка — наименьшая нагрузка, при которой возможно выпучивание в условиях продолжающегося нагружения. [c.277] Пусть X, у, Z — триэдр подвижных осей для искривленной (выпученной) полосы, причем оси х, у направлены по главным центральным осям инерции сечения, а ось z направлена по касательной к осевой линии полосы. Обозначим через р, q, г кривизны и кручение оси полосы в искривленном состоянии, через (V ., V , V ), Lj , Ly, L ) — соответственно векторы усилия и момента в некотором поперечном сечении полосы ). [c.277] Триэдр осей, отнесенный к исходному (неискривленному) состоянию полосы, отличаем нулевым индексом х , у , в этом состоянии величины q , г , Ly , L o равны нулю. [c.277] В дальнейшем всюду удерживаются лишь бесконечно малые величины первого порядка. Поэтому в первом уравнении (66.1) следует вычеркнуть средние члены как малые высшего порядка, и тогда оно сводится по существу к известному соотношению между изгибающим моментом и перерезывающей силой. [c.278] Для возможности решения вопросов устойчивости полос за пределом упругости необходимо установить аналогичные соотношения в случае упруго-пластических деформаций. [c.279] Нетрудно видеть, что сравнительно небольшим деформациям (вг,, ах 1—2У( ) отвечают изгибающие моменты, близкие к предельному М . Поэтому принятая схема идеальной пластичности хорошо охватывает условия работы балок из обычных сталей с четкой площадкой текучести. [c.279] При бесконечно малом выпучивании полоса испытывает дополнительные деформации. Так же как и в упругом случае, эти деформации состоят из изгиба полосы и скручивания ее. Компонентами напряжения о , ху можно пренебречь, так как боковые поверхности полосы свободны от напряжений, а толщина полосы мала напряжением также пренебрегаем, поскольку давление волокон друг на друга отсутствует при изгибе и при кручении. [c.280] Соотношения (66.7) и (66.8) связывают вариации моментов —Ьхй, Ly, Lg с вариациями напряжений. [c.280] При выпучивании часть сечения будет испытывать нагружение часть — разгрузку. В области нагружения приращение работы пластической деформации dAp 0 ( 14). Нетрудно видеть, что в нашем случае = о ое величина второго порядка малости. [c.281] Следовательно, нагружение и разгрузка различаются по знаку 8е , граница определяется уравнением 6e = 0, т. е. [c.281] При —где tg(Bj=-y, линия раздела лежит в сечении упругого ядра, и тогда области пластической деформации полностью находятся либо в состоянии нагружения, либо в состоянии разгрузки. [c.281] На фиг. 192 дан график функции Таким образом, Г — однозначная функция С, причем Область нагружелия всегда больше области разгрузки (при упругопластическом изгибе). При упругом изгибе линия раздела совпадает с осью у, при упруго-пластическом — она наклонена, причем с уменьшением С линия раздела все более приближается к горизонтальной оси. [c.283] Так как Z (С) — довольно сложная функция s, то разыскание собственных значений путем использования интегралов дифференциальных уравнений связано со значительными трудностями, хотя и можно указать различные приемы упрощения вычислений. [c.284] Простота вычислений может быть достигнута при помощи энергетического метода, вполне аналогичного известному методу С. П. Тимошенко. В самом деле, соотношения (66.19) можно рассматривать как соотношения задачи об устойчивости плоской формы изгиба упругой полосы переменного сечения, тогда энергетическое уравнение Тимошенко полностью сохраняет свой вид. Мы получим это уравнение, приравнивая при выпучивании энергию бокового изгиба и кручения работе внешних сил. [c.284] Пусть концы полосы оперты, т. е. при s — 0,s — ab 1 = 0. [c.285] Эта кривая показана на фиг. 194 оплошно линией кривая НН вычислена для случая идеально-упругой полосы. Точка//соответствует появлению первых пластических деформаций. [c.286] Интегралы в пределах (О, 1) легко вычисляются, интеграл в пределах (О, /]) находится численно при фиксированных л. Как и в упругом случае, первое приближение близко ко второму. Граница устойчивости показана на фиг. 196 она мало отходит от упругой (пунктир), что объясняется незначительным распространением пластических зон и тем, что. чаксимальные пластические деформации локализуются вблизи заделки. [c.288] Жесткость В незначительно отличается (фиг. 192) от жесткости В. [c.289] Вернуться к основной статье