ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные краевые задачи из "Основы теории пластичности " Построение решений полученных гиперболических уравнений (34.3) сводится к решению ряда краевых задач. Краткое описание основных из них приводится ниже. Более подробные сведения можно найти в руководствах по уравнениям математической физики (см., например, ]). [c.150] И пересекаемая каждой характеристикой только один раз. На дуге АВ известны функции 3 = o(s), 6 = 6(s), непрерывные вместе с первыми и вторыми производными. Требуется построить решение уравнений (34.3), принимающее на дуге АВ заданные значения. Искомое решение существует и единственно в треугольной области АРВ, ограниченной дугой АВ и линиями скольжения (характеристиками) а, р, исходящими из ее концов. В частности, функции о(х, у), 6 (х, у) определяются также и на сторонах АР, ВР. Решение непрерывно вместе с производными до второго порядка включительно. [c.151] Аналогичное построение может быть выполнено и по другую сторону дуги АВ. [c.151] значения o(s), 0(s), задаваемые в какой-либо точке дуги Q, влияют на решение лишь в точках, лежащих внутри характеристического угла , образованного линиями скольжения, исходящими из точки Q. [c.151] Существование и единственность указанного выше решения имеют место при выполнении условий гладкости дуги АВ и непрерывности начальных данных. Если же производные начальных данных разрывны в некоторой точке С, то упомянутые результаты будут справедливы лишь в треугольных областях АСР , ВСР . Решение можно строить и в остальной части области СР РР , но вдоль характеристик СР, СР будут разрывны производные решения. Разрывы производных распространяются только вдоль характеристик, причем не могут исчезнуть вдоль последних. [c.151] Остановимся на простых следствиях, широко используемых в приложениях. [c.151] Поле напряжений у границы, свободной от усилий, определяется только формой границы. [c.151] Действительно, так как касательное напряжение на границе равно нулю, то направление нормали к контуру является одним из главных направлений и линии скольжения подходят к контуру под углом 45°. Следовательно, контур нигде не совпадает с характеристическим направлением, и мы имеем задачу Коши, решение которой единственно. [c.151] В частности, у прямолинейной свободной границы всегда будет поле равномерного одноосного растяжения пли сжатия величиной 2к, параллельного линии границы (фиг. 72, а). [c.152] У круговой свободной границы В А (фиг. 12, б) поле скольжения образовано логарифмическими спиралями, а напряжения даны формулами (35.6) при / = 0. [c.152] Приведенные результаты сохраняются почти полностью, если вдоль рассматриваемой части контура приложено равномерное давление геометрия линий скольжения остается прежней у прямолинейной границы теперь будет равномерное напряженное состояние, у круговой границы — поле напряжений, определяемое формулами (35.6). [c.152] Важное значение имеет вырожденный случай начальной характеристической задачи, когда отрезок линии скольжения 08 (или ОА) стягивается в точку О, причем радиус его кривизны неограниченно уменьшается, изменение же угла б остается постоянным (фиг. 74). В точке О сходятся все а-линии скольжения и напряжения разрывны. [c.153] Решение определено в треугольнике ОАО при задании угла раствора в узле О и значений о, 6 на дуге ОА. [c.153] Предполагается, что угол АОВ — острый (т. е. лежит внутри характеристического угла). [c.153] Вернуться к основной статье