ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Большие прогибы пластин. Толстые пластины из "Балки, пластины и оболочки " как обычно, = d ldx + d ldy , D = AV[12(1 — v )]. [c.261] Подставляя это выражение внорь в (4.72), получаем выражение, совпадающее с (4.24), которое было получено ранее из уравнения равновесия с помощью гармонического анализа. [c.262] Имеетея еще третий тип энергии деформации, который связан с закручиванием ребер, хотя он и не является строго крутильным. Если ребро закручивалось с постоянной скоростью кручения, то выражение (4.75а), которое описывает энергию деформации, соответствующую касательным напряжениям и деформациям, возникающим при кручении, будет достаточно. На практике скорость кручения, как правило, не постоянна, и части ребра, расположенные вне пластины, будут при этом подвергаться также и изгибу в плоскости пластины из-за переменности скврости кручения. Так как такому изгибу подвергаются все части ребра, то обычно бывает достаточно рассмотреть полки ребер, поскольку они, как правило, наиболее удалены от пластины и дают наибольший вклад в жесткость в плоскости пластины. Момент инерции If каждой полки двутавровой балки, используемой в качестве подкрепляющего ребра, можно приближенно взять равным половине момента инерции всего поперечного сечения относительно стенки как оси, который приводится в справочниках по строительной механике. [c.264] Такое поведение пластины как части прикрепленного ребра (или подобных пластине полок тонкостенных балок с широкими полками) изучалось Т. Карманом ). Мембранная деформация в пластине должна иметь такую же велкчину, как и деформация ребра в месте присоединения ребра к пластине деформация в пластине при удалении от ребра уменьшается по экспоненциальному закону медленно, если ребро изгибается по длинным волнам, и быстро — при изгибе по коротким волнам. Т. Карман вычислил эффективную ширину X расположенной по обеим сторонам реб )а, пластины для случая равномерного деформирования, сведя этот случай к задаче о бесконечной Пластине, подкрепленной ребром, деформации в которой уменьшаются по экспоненциальному закону. На практике в большинстве случаев пластина имеет достаточную ширину, чтобы предположение о бесконечной ширине давало хорошее приближение, но для того чтобы охватить случай более узкой пластины, были проведены дополнительные расчеты для определения эффективной ширины, которая при деформировании ребра была бы эквивалентна случаю определения деформаций, уменьшающихся / по экспоненциальному закону, в пластине ограниченной ширины. [c.265] Найденная таким образом ширина каждой стороны ребра составляет Я, = 2ifZ/(3 + 2v — 0,81ifZ, где в качестве I можно взять первоначальную длину полуволны.(т. е. расстояние между узлами) прогиба ребра при изгибе. Числовой коэффициент у принимается равным единице для пластины с бесконечной шириной и, как показано на рис. 4.24, в, он зависит от отношения s/Z, где S — ширина той части пластины, которая, как можно мысленно себе представить, взаимодействует с ребром. На рис. 4.24, а значения Si и являются значениями упомянутой величины S по каждую сторону от ребра, измеряемыми от оси у, S2 и 21 то же для следующего ребра и т. д. здесь предполагается, что можно суммировать влияния, оказываемые на пластину со стороны различных ребер. [c.265] Взаимодействие между ребром ja пластиной можно было бы исследовать и другинГ путем, рассмотрев перемещения или срединной поверхности, которые будут появляться даже при малых перемещениях, если используются несимметричные ребра. Следует задаться выражениями для перемещений и и v с Неизвестными коэффициентами, записать выражения для результирующих деформаций в ребре и пластине и неизвестные коэффициенты определить энергетидеским методов вместе с неизвестными коэффициентами в выражениях для прогиба w. Этот метод представляется более прямым и потенциально-более полным, но является значительно более трудоемким (так как число неизвестных коэффициентов утраивается), чем представленные ранее методы по определению энергии деформации подкрепленной пластины, где рассматриваются все факторы, которые могут оказаться важными. [c.266] Для квадратной пластины а = Ъ) с ребром, размеры которого показаны на рис. 4.24, б, момент инерции ребра равен I = =febV12 000, а максимальный прогиб — . [c.268] Для очень толстой пластины, скажем, с ЫЬ = 20, влияние ребра, отраженное в члене с 6V/ невелико. Но для тонкой пластины, например с b/h iQQ ребро, вес которого составляет одну десятую от веса пластины, может снизить прогиб в пять и более раз использование ребер с более эффективными профилями поперечных сечений, таких, как швеллер, делает такое сравнение еще более впечатляющим. Если читатель пожелает углубить решение этой задачи путем использования большого числа членов, то он обнаружит, что при этом имеет место хорошая сходимость, а также то, что сделанные выше выводы сохраняют свое значение. [c.268] Заменяя в системе уравнений (4.79) / на Г, в первых двух уравнениях вместо 2EI получим 2 /[1 + 3/(1 + 0,2766/я)], в третьем уравнении вместо Q2EI получим 162 Е/[1 + 3/(1 + 0,828 Ь/а)] н т. д. В формуле (4.81) при а — Ь я удержании только одного члена слагаемое с b /h следует умножить на коэффициент [1 + + 3/(1 + 0,276)] = 3,35. Так. как этот коэффициент тем меньше, чем лучше форма ребра, то, очевидно, отсюда следует, что гораздо эффективнее располагать подкрепляющее ребро с одной стороны пластины, что будет более удобным и с технологической точки зрения. Это, разумеется, связано е тем, что значительная часть подобной конструкции выполняет двоякую функцию и как пластина, и как часть подкрепления, тем самым сильно увеличивая эффективный момент инерции подкрепления. [c.268] Рассмотрим показанный на рис. 4.25, а случай свободно опертой пластины, на которую действуют равномерно распределенные по краям х = 0, X = а, у = О и у = Ь сдвигающие силы отнесенные к единице длины стороны. Если начальный Wg и дополнительный и прогибы малы по сравнению с толщиной h. [c.272] Приравнивая нулю определитель этой системы для произвольно выбранного отношения а/Ь, получим уравнение, относительно S, решая которое определим затем и критическое значение Штриховыми линиями на рис. 4.25, б гюказана зависимость безразмерной величины а = я 6/(32 aS) — a hs JD для случая идеально плоской пластины (и о = 0), полученная С. П. Тимошенко ) с помощью такой же системы уравнений с удержанием иного числа членов ряда. Сплошной линией показана, по-види-мому, наиболее точная зависимость для а с учетом того, что точное (в рамках гипотезы Кирхгофа) значение а, которое получили Р. Саутуэлл и С. Скан, для длинной полосы (а/6 = 0) равно = 52,8. [c.274] Эта форма удовлетворяет краевым условиям (4.60) на краях л = О, х = а и у = 0, но не удовлетворяет им на свободном крае при у = Ъ. Тем не менее в соответствии с результатами, полученными для случая пластины с двумя свободными краями (см. рис. 4.22, а), можно ожидать, что по крайней мере для широкой лластины потеря устойчивости будет происходить по форме 4.92), близкой к развертывающейся поверхности, почти по всей лластине единственное место, где наблюдается сильное отклонение от этой формы, располагается вблизи свободного края. Отсюда будет интересно сравнить решение ) энергетическим методом с использованием представления (4.92) с довольно сложным точным решением, получаемого из выражения (4.61) при s = 0. [c.276] Основы теории. До сих пор рассматривались только пластины прямоугольной формы с использованием прямоугольной системы координат и методов, основанных на рассмотрении уравнений равновесия или энергии. Хотя это не только простейший, но также и наиболее важный тип пластин, приведенное обсуждение было бы не полным без, по крайней мере, беглого рассмотрения других типов пластин. Кроме прямоугольной, наиболее важной системой координат, используемой в теории пластин, является полярная система координат, удобная главным образом для круговых пластин. Для простоты здесь будем рассматривать случай-осесимметричных деформаций, вызываемых осесимметричным нагружением, круговых пластин или их осесимметричных форм пот тери истойчивости, а также колебаний общий случай может быть выведен из общих теорий оболочек, приведенных в главе 6. Случай осесимметричной пластины проще случая прямоугольной пластины тем, что решения изменяются только вдоль одного направления — вдоль радиуса. Расстояние, измеряемое от срединной поверхности, и перемещение, но.рмальное к этой поверхности, будем обозначать так же, как и в прямоугольных координатах. [c.280] Вернуться к основной статье