ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Двумерная теория упругости из "Балки, пластины и оболочки " Плоское напряженное состояние. В первом случае тонкого листа предполагалось, что напряжения а, Оу и (которые, разумеется, распределены равномерно по толщине краев) повсюду в листе распределены равномерно по толщине и что напряжения Ог, Охг и Oyz (которые, разумеется, равны нулю на поверхностях) равны нулю првсюду в листе. Этот случай называется плоским напряженным состоянием. [c.140] Некоторое представление о физических условиях, которые определяют, насколько будет аккуратным это предположение в каком-либо частном случае, можно получить из следующего обсуждения. В общем случае в поперечном направлении будут возникать Деформации Ez, что обусловлено главным образом влиянием коэффициента Пуассона при возникновении напряжений а и а . Если деформации Кг равны нулю и постоянны по всему листу, так что как внешние, так и остальные поверхности, параллельные срединной поверхности, остаются плоскими, то нетрудно увидеть, что если удовлетворяются уравнения равновесия и условия сплошности в направлениях осей ж и у, то уравнения равновесия и условия сплошности можно удовлетворить и в направлении оси Z, если напряжения а и Oyz равны нулю, а напряжения а, Оу и Оху равномерно распределены по толщине, как и было предположено ранее ниже будет показано, что в подобном случае это предположение представляет собой точное решение трехмерной задачи. [c.140] Ошибка, которая связана с этим пренебрежением, будет мала, если коэффициент Пуассона материала очень мал (как в случае некоторых пористых материалов), так что изменение толпщ-пы будет очень мйло. Ошибки будут малы й в случае других материалов, если расстояния в плоскости полосы, на которых напряжения а и а изменяются на величину порядка 100%, велики по сравнению с ее толщиной, так как в этом случае толщина будет изменяться постепенно. В случаях концентрации напряжения в окрестностях отверстия, надреза или других разрывов, имеющих размеры, сопоставимые с Толщиной, ошибка будет уже существенной. [c.141] что соотношения (З.Иг) совпадают с (3.11а), нолучен-пыми для плоского напряженного состояния, за исключением того что вместо- модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона v подставляются соответственно. Е/(1 —v ) и v/(l —v) для коэффициента Пуассона, величина которого для большинства инженерных материалов составляет примерно 0,3, указанные модифицированные Постоянные будут соответственно выше примерно на 10 7о и 40 %. [c.143] Так как Ог = а = Oyz = О, то решения (3.12а) являются решениями для плоского напряженного состоянйя. Функция вида 1 ) = i 3(ar, у) аналогична той, которую традиционно называют функцией напряжеция, хотя столь же логично ее было бы называть функцией перемещения. В любом случае это есть функция, которая определяет напряжения и перемещения через соотношения типа (3.12а). [c.144] Так как здесь Oz=.ei = 0, то это несколько олее ограниченное решение удовлетворяет уравнениям как для плоского напряженного, так и для плоского деформированного состояний, и в этом случае соотношения (3.11а) и (3.11г) между напряжениями и деформациями совпадают. [c.145] Если в выражениях (3.15а) и (3.156) для плоского напряженного состояния вместо модуля Е и коэффициента v подставить соответственно E/ i v ) и v/(l —v ), та выражения для напряжений о, Оу, Охи и перемещений м и- Uy совпадут с такими же выражениями (3.136) для случая плоского деформированного случая. Но за исключением распределения напряжений н перемещений в направлении осей х ж у, эти два случая совершенно различны. [c.149] Бели нужно получить перемещения, их можно найти, проинтегрировав первые два уравнения (3.166) соответственно по а и у, подставив получающиеся при этом выражения для и и Пу в третье уравнение и определив наиболее общий вид функций интегрирования, которые будут удовлетворяться ниже. Так как перемещения представляют интерес как ввиду их практической важности, так и в связи с необходимостью удовлетворения граничных условий, обычно в дальнейшем будет, как правило, удобнее использовать выражения (3.15а) и (3.156), которые, по существу, совпадают с выражениями (3.16а) и (3.166), если на них воздействовать оператором d Jdxdy, что позволяет получить выражения для перемещений без операции интегрирования естест-ленно, они содержат те же самые аппроксимации и приводят к тем же результатам. [c.150] Вернуться к основной статье