ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория упругости, общие положения из "Балки, пластины и оболочки " ВОЙ силы Fx, совершающей работу по упругому изменению длины оси. Этот член следует учитывать в случае, подобном описай-ному в 2.6, где рассматривалась балка, у которой наложенное-связи препятствуют осевым смещениям на концах, если исследовать эту балку энергетическим методом, а не пользоваться уравнениями равновесия этот метод, как было показано, удобен для применений. В случаях осевой нагрузки, когда концы могут свободно перемещаться в осевом направлении, как в случае за- дачи о потере устойчивости, работа, совершаемая внешней осевой нагрузкой при упругом изменении длины оси, обращает в нуль только упомянутую выше энергию осевой упругой деформации уравнениях, следующих из принцица возможной работы, и поэтому принято опускать оба этих члена. Однако работу, совершаемую внешней осевой нагрузкой на пути, равном уменьшению расстояния между концами вследствие искривления (изменения кривизны) центральной линии, необходимо учитывать, как это будет сделано в случае, рассмотренном ниже в этом разделе. [c.101] В соответствии с аппроксимацией Вернул-ли этой деформацией сдвига пренебрегают, а следовательно, пренебрегают и соответствующей ей энергией деформации. Но эту энергию следует- учитывать, если требуете изучить энергетическим- методом связанные с этой аппроксимацией эффекты, что будет сделано другими метбдами в 3.5. [c.101] Рассмотрим сначала некоторые точные решения, в рядах. Если используются те же ряды, что я- ряды, применявшиеся в методе, основанном на рассмотрении у равнений, равновесия,, то энер-гетическии метод дает такие же результаты, но такие. случаи полезны для иллюстрации применения энергетического метода. [c.103] Отметим, что здесь опущен знак суммирования, так как является частной производной от энергии но одному 3 определераых коэффициентов и поэтому равна нулю для всех других коэффициентов. Заметим также, что величина dw может ыть бынесена за знак интегрирования, так как она не зависит от X. Разделив соотношение (2.56) на dWm, решив это соотношение относительно Wm и вновь подставив полученную величину в выражение (2.8), с учетом 1 = Ь 1 2 получим выражение (2.12), которое может затем применяться, как и ранее говорилось, для любого вида распределения нагрузки f x). [c.104] Подставив сюда полученные выше выражения для прогиба w я нагрузки р, проинтегрировав и поделив результат на sin 2nA m , иолучим такой же результат, как и найденное ранее (2.20). [c.104] Как уже говорилось выше, нагрузка Р может принимать раз личные значения, соответствующие значениям щ, равным 1, 2, 3,. .т. е. теоретически стержень может находиться в равновесии при различных деформированных состояниях, каждому из которых соответствует различная нагрузка Р, но практическое значение имеет самое низкое значение нагрузки Р при те = 1. [c.105] Энергетический метод для получения приближенных решений.. [c.105] Можно заметить, что все приближенные значения коэффициентов прогибов, приведенные в таблице 2.2, превышают точные, т. е. предсказанные прогибы являются меньнгими, чем они должны были бы быть. Энергетический метод дает точное решение, когда выбрана точная форма прогибов, а неточная форма может рассматриваться как точная для случая введения дополнительных связей (например, соответствующим образом распределенных упругих реакций), вынуждающих тело принять заданную форму. Так как введение различного вида ограничений— хриводит к уменьшению прогибов, то приближенное решение, удовлетворяющее условиям на концах и получаемое энергетическим методом, всегда демонстрирует, что тело имеет большую жесткость и более высокие критические нагрузки, а также частоты колебаний, чем на самом деле. [c.109] В классической трехмерной теории упругости используется закон Гука (ограничимся здесь изотропными материалами) и точно выполняются Другие соотношения таблицы 1.2 ( 1.2) (уравнения равновесия и геометрические соотногйения, связывающие деформации и перемещения) без введения аппроксимаций типа Кирхгофа — Лява. [c.110] Обозначения координат и напряжений. Ниже будет использована правая прямоугольная система координат которую можно интерпретировать правилом, согласно которому при направлении большого пальца правой руки вдоль оси х остальные пальцы укажут направление лховорота, необходимого для совмещения осд. у с осью Z (буквы используют в алфавитном порядке х, у, z), как-показано на рис. 3.1. [c.110] За положительное направление нормальных напряжений при- нимается направление от элемента, т. е. напряжение растяжения. Если это положительное нормально е напряжение, возникающее на грани, совпадает с направлением соответствующей координатной-оси, то для двух касательных напряжений, возникающих на гой же грани, за положительные примем направления, совпадающие с направлением остальных координатных осей для нормального напряжения положительное направление противоположно соответствующей координатной оси, для касательных напряжений положительными будут на-прайления, также, противоположные координатным осям. Таким образом, если направление положительно, напряжения имеют направление, указанное на рис. 3.1, если отрицательное — они, разумеется, имеют противоположное направление. [c.111] Уравнения равновесия. Выше не делалось различия между компонентами напряжения на противоположных гранях элемента. Однако в обп ем слзгчае напряжения изменяются от точки к точке, т. е. они являются функциями координат, и обозначаются следующим образом 0 = 0х(а , у, z) и т. д. Если о — нормальное растягивающее напряжение в точке, лежащей на расстоянии х от начала координат, то нормальное растягивающее напряжение в точке, отстоящей на малом расстоянии dx, будет равно сумме напряжения о и скорости dajdx изменения напряжения о , умноженной на величину dx, на которую изменяется координата х, т. е. равно dajdxdx, как это показано на рис. 3.2, б. [c.112] Влиянием изменения напряжений вдоль бесконечно малых граней элементов на равновесие элементов можно пренебречь. Для того чтобы показать, что это возможно, на рис. 3.2, в представлены напряжения о у, возникающие на двух противоположных гранях, вместе с изменениями, которые они претерпевают вдоль граней и при переходе от одной грани элемента к противоположной. Можно видеть, что в уравнении равновесия моментов силы, обусловленные напряжением образуют пару сид с плечом dx. Моменты, обусловленные всеми изменениями напряжений 0 5, относительно, скажем, центра элемента, являются малы- ми величинами высшего порядка, т. е. они содержат на один или более множителей dx или dy больше, чем содержит момент от напряжения о у, и, следовательно (так как все плечи моментов и площади граней имеют одинаковый порядок величины, а напряжение (Sxy и его производные обычно являются конечными), они стремятся к нулю быстрее, чем момент от о у при стремлении размеров элементов к нулю. [c.112] Пренебрежение малыми величинами более высоких порядков не приводит к ошибке, если речь не идет об изменениях геометрии при деформи ровании, вызванных конечной деформацией, пренебрежение которой обычно дает аппроксимацию, которая может быть важной в зависимости от конкретных случаев. В данном слзгчае умножение напряжения на первоначальную, а не конечную площадь не дает ошибки, так как напряжение определяется относительно первоначальной площади однако деформация вызывает изменения в направлениях и величинах плеч пар сил, пренебрежение которыми приводит к некоторбй погрешности. [c.113] Это означает, что порядок, в котором записаны индексы для касательных напряжений, не имеет значения и для простоты в дальнейшем будут использоваться только следующие индексы Оху, Oyz, Охг.. Но приводимые выше рассуждения по поводу двойных индексов потребуются в дальнейшем для сил и моментов, соответствующих таким напряжениям, проинтегрированным по толщине оболодки, так как в этом случае порядок индексов в общем случае не имебт значения. [c.113] Вернуться к основной статье