ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгоритм решения граничных задач в напряжениях из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Характер изменений в структуре спектра в области частот Q = 1 частично виден на рис. 72. При подходе к данной частоте спектральные кривые с высшими номерами обнаруживают изменение поведения, что указывает на начало образования системы плато. [c.192] Что касается изгибных движений, соответствующих первой распространяющейся моде в слое, то именно она является доминирующей в формах колебаний на частотах, меньших и несколько больших частоты Q = 1. При переходе через частоту Q = 1 вдоль определенной спектральной кривой наблюдаются такие же изменения в характере форм колебаний, как и в симмет1 ичном случае при переходе через частоту краевого резонанса. Эти изменения показаны на рис. 73, где изображены формы колебаний в трех характерных точках Л, б и С восьмой спектральной кривой (см. рис. 72). Здесь приведены нормированные величины нормальных составляющих вектора смещений поверхности. Сплошная кривая описывает форму колебаний в точке А, штриховая и пунктирная — в точках С и В. Видно, что при переходе через частоту Q = 1 в форме колебаний теряется один узел. Это дает основание считать, что часть восьмой спектральной кривой в области Q 1 описывает связь между геометрией и собственной частотой для седьмой изгибной моды. [c.193] В целом, анализируя спектр собственных частот изгибных колебаний прямоугольника в рассмотренном диапазоне частот, следует отметить его гораздо более простую структуру по сравнению со спектром планарных колебаний. Важным здесь является также то, что структура спектра изгибных колебаний однозначно расшифровывается на основе данных о поведении распространяющихся мод в бесконечном слое. С этой точки зрения антисимметричный и симметричный случаи существенно различаются. Если все же попытаться связать эти различия с характером дисперсии указанных типов движения в слое, то прежде всего следует обратить внимание на движения с противоположными знаками групповой и фазовой скоростей. Рассматривая в симметричном случае диапазон частот Q Q й, мы исследовали и эффекты, связанные с указанными особенностями волнового движения. При изгибных колебаниях такого типа волновые движения также наблюдаются (см. рис. 62), однако они проявляются в области относительно большйх частот (Q 3). Возможно, что явления типа краевого резонанса и сгущения собственных частот в спектре для случая изгибных колебаний будут наблюдаться именно в этом районе. [c.193] Что касается существа методики построения общего решения задачи о вынужденных колебаниях цилиндра конечной длины, то здесь нет новых принципиальных отличий по сравнению со случаем прямоугольника. Некоторые дополнительные трудности возникают при построении решения для общего трехмерного случая деформирования. Для него в 8 данной главы приведено полное построение общего решения. [c.194] Исследование общих решений, получаемых в рамках суперпозиции частных решений предложенного вида, в случае смешанных условий на границе цилиндра связано с существенным развитием методики определения коэффициентов бесконечных рядов. Сущность предлагаемого подхода, а также особенности деформирования цилиндров при смешанных граничных условиях рассматриваются далее в 7. [c.194] Практичность такого объекта как цилиндр конечной длины и его широкое использование в качестве возбудителей и приемников колебаний, резонаторов, элементов механических фильтров и линий задержки [101, 242, 263] обусловливают значительно больший интерес к нему по сравнению с прямоугольником. [c.194] Как уже отмечалось при анализе волновых движений в цилиндри-чебком волноводе, наборы частных решений уравнений движения в цилиндрических координатах впервые были приведены в работах Похгаммера [252] и Кри [168]. В работе [168] такие решения использовались для изучения колебаний конечных цилиндров со специальными смешанными условиями на торцах = 0. При этом оказалось возможным выполнить граничные условия путем наложения на падающую волну отраженной волны такого же типа. [c.194] Задача оказалась очень простой как с физической, так и с математической точки зрения. В общем случае, когда изучение колебаний сводится к решению основных граничных задач, возникают значительные математические трудности. Последующее изложение показывает, что им сопутствует также существенное усложнение физической картины деформирования цилиндра. [c.195] Наличие эффективного решения граничных задач о вынужденных колебаниях цилиндра конечной длины при различных граничных условиях позволяет, в частности, глубоко изучить такое интересное явление, как толщинный резонанс в тонком диске. Этому посвящена значительная часть данной главы ( 4—6). [c.195] Большой интерес представляет оценка роли граничных условий в формировании спектра и форм колебаний диска С такой точки зрения ведется рассмотрение смешанной задачи. [c.195] Во всех этих задачах наибольший интерес представляет высокочастотная область, когда проявляются существенные особенности деформирования упругих тел конечных размеров. Именно этой области частот уделено основное внимание при проведении конкретных расчетов. Изложение в данной главе ведется на основе работ [42, 43, 46]. [c.195] Целью настоящей главы является изучение свойств колебательной системы в виде идеально упругого цилиндра конечной длины. Под этим подразумевается отыскание спектра собственных частот и соответствующих форм колебаний. Такая физическая задача имеет строгую математическую формулировку. В связи с этим в процессе ее рассмотрения выделяются два важных этапа — разработка методов решения соответствующих граничных задач и систематизация и обобщение данных конкретных расчетов Эти два момента в той или иной мере рассматриваются во всех публикациях, посвященных исследованию колебаний цилиндра. [c.195] В определенной мере новый этап в построении приближенной теории пластин связан с появлением работ Миндлина [235, 238]. Основная идея Миндлина заключалась в том, чтобы при выводе уточненных уравнений движения пластин, предназначенных для применения в высокочастотной области, добиваться наилучшей аппроксимации низших дисперсионных ветвей точной трехмерной теории соотношениями приближенных теорий. Такой подход дал возможность получить широко используюш,иеся прикладные теории планарных и изгибных колебаний пластин, а также продольных колебаний длинных цилиндров [237]. На их основе проведен анализ некоторых особенностей динамического поведения пластин и стержней в высокочастотной области. Подробный обзор полученных при этом результатов содержится в работах [224, 236, 248]. [c.196] Сложилось самостоятельное научное направление, связанное с разработкой корректных в том или ином смысле прикладных теорий пластин и оболочек, со своей проблематикой и большим количеством интересных результатов. Обзор соответствуюш,их исследований содержится в работе [35]. Анализ соответствуюш,их результатов в механике деформируемого твердого тела выходит за рамки настояш,ей книги. [c.196] Кроме исследований поведения круглых пластин и цилиндрических стержней на основе уточненных теорий значительное внимание уделялось разработке подходов к решению пространственных задач. В работах [154, 155] строятся приближенные решения задачи на основе метода однородных решений. Удовлетворение граничным условиям на цилиндрической поверхности проводится способом коллокации в нескольких отдельных точках. Такой же подход к использованию однородных решений применен в работах [203, 204]. Другие работы, связанные с развитием метода однородных решений, упомянуты в предыдуш,ей главе при описании сути этого метода. Дополнительно здесь отметим лишь работу [146]. [c.196] Естественно, что при решении соответствуюш,их граничных задач широко использовались также вариационные подходы [76, 191], методы конечных разностей [222] и конечных элементов [196]. [c.196] Перечисленные эксперименты выполнены с использованием пьезокерамических дисков. Возможность легко возбуждать колебания в таких дисках позволила авторам работ [133, 194, 195] экспериментально получить спектр собственных частот дисков в довольно широком диапазоне изменения геометрических характеристик. Тщательные экспериментальные исследования спектра собственных частот длинных металлических цилиндров описаны в статьях [166, 241]. Экспериментальные данные указанных работ будут использованы нами при обсуждении результатов аналитических решений граничных задач. [c.197] Основой для анализа спектра собственных частот и форм колебаний дисков и цилиндров являются, как и в случае прямоугольника, решения ряда основных граничных задач о вынужденных колебаниях. При этом широко используется возможность раздельного рассмотрения движений с различными типами симметрии относительно срединной плоскости, а также возможность упрош,ения выкладок за счет вида внешних возбуждаюш,их нагрузок. [c.197] Геометрические характеристики цилиндра и выбор системы координат показаны на рис. 74. Входяш,ие в формулировку граничных условий функции считаются достаточно гладкими. [c.197] Вернуться к основной статье