ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Краевой резонанс в прямоугольнике из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Перейдем к анализу тех форм колебаний прямоугольника, которые соответствуют плато в спектре на рис. 63. При этом мы еще остаемся в области частот, где имеется только одна распространяющаяся мода. Такие особенности в спектре собственных частот упругого тела впервые обнаружил экспериментально Шоу [264]. Эксперименты проводились на пьезокерамических круглых дисках. Измерение перемещений в ooтвeт Jвyющиx формах колебаний показало наличие сильной локализации области интенсивных движений вблизи края диска. В связи с этим явление возбуждения таких форм получило название краевого резонанса. [c.185] Аналогичные экспериментальные работы были выполнены и для прямоугольных пластин. Ряд работ относится к существенно анизотропным материалам [145, 244]. Очень удобными для постановки экспериментов в этой области являются пьезокерамические материалы [39, 245]. В случае поляризации по толщине в рамках модели плоского напряженного состояния анизотропия таких материалов не проявляется. [c.185] С точки зрения теоретического осмысливания явления краевого резонанса как одной из специфических особенностей колебаний упругих тел конечных размеров важную роль сыграли работы [179, 244 ]. В них показана связь между явлением краевого резонанса и особенностями процесса отражения волн от свободного торца упругого волновода. Оказалось, что в случае упругого волновода нет простого решения тривиальной задачи акустики об отражении распространяющейся моды от идеального торца волновода. В связи с наличием преобразования типов волн при отражении от свободной поверхности в упругом волноводе сумма падающей и отраженной распространяющихся мод не удовлетворяет нулевым граничным условиям по нормальным и касательным напряжениям одновременно. Обеспечить выполнение граничных условий можно только с привлечением нераспространяющихся мод. Авторы работ [179, 244] были первыми, кто использовал нераспространяющиеся моды для улучшения точности выполнения граничных условий и описания процесса отражения. [c.186] Способы учета нераспространяющихся мод в работах [179, 244] разные. Это привело к некоторому различию в значениях частоты краевого резонанса. И все же эти работы наглядно показали ту большую роль, которую играют нераспространяющиеся моды при образовании форм колебаний и спектра собственных частот конечных упругих тел. При этом для представления волнового поля и уточненного удовлетворения граничным условиям использовалась только одна нераспространяющаяся мода. [c.186] Изложенная методика решения задачи об установившихся колебаниях прямоугольника позволяет дать полный анализ как структуры спектра в рассматриваемом диапазоне частот, так и форм колебаний. Конкретные расчеты, результаты которых для спектра собственных частот представлены на рис. 63, выполнены для материала с коэффициентом v = 0,248 (плоская деформация), что соответствует значению v = 0,329 для плоского напряженного состояния. Для тонкой пластинки из такого материала (v = 0,329) в работе [245] приведены обширные экспериментальные данные. Частоты, лежащие в центральных участках плато (см. рис. 63), заключены в интервале 1,4300 1,4333 независимо от геометрических размеров прямоугольника при L 2. Для L 2 при движении вдоль плато частоты изменяются в большем диапазоне. Если ориентироваться на данные при L 2, то, принимая для частоты краевого резонанса значение = 1,4311, находим, что эта величина всего на 0,5% отличается от определенной экспериментально. [c.187] Отметим, что частота краевого резонанса существенно зависит от коэффициента Пуассона, повышаясь с его увеличением. В связи с этим такую зависимость предлагалось использовать в качестве основы для экспериментального определения величины v [226]. [c.187] Спектр собственных частот на рис. 63 имеет характерные зоны, одна из которых выделена кривой S. В общем случае колебательных систем со многими степенями свободы наличие таких зон указывает на связь между различными нормальными колебаниями [89], Это обстоятельство необходимо иметь в виду, приступая к анализу форм колебаний. Формы колебаний, соответствующие определенному типу движений, проявляются только для частот, достаточно удаленных от зон взаимодействия. [c.187] Существенные различия между типами движений, соответствующими точкам плато и ниспадающим участкам кривых ниже и выше Qg, наглядно видны на рис. 68. Здесь представлено распределение вдоль поверхности г = 1 нормального к ней компонента вектора смещений (х, 1) для третьей (й = 1,2650), четвертой (Q = = 1,4333) и пятой (Q = 1,5158) собственных форм прямоугольника с величиной L = 6 (кривые 3—5 соответственно). Как видно из рис. 63, для такой геометрии четвертая собственная частота является центром плато. В соответствующей ей форме зона относительно больших смещений и напряжений сосредоточена вблизи торцов прямоугольника. Это подтверждается, в частности, данными рис. 69, где показано распределение вдоль оси 2 = 0 нормального напряжения а . При удалении от торца х = L величина напряжений резко падает. [c.187] Отметим, что краевая мода в прямоугольнике обнаруживает весьма слабую связь с продольными модами колебаний. Характеристики формы колебаний при движении вдоль любого плато остаются практически неизменными. Это подтверждается данными рис. 70, на котором представлено распределение х, 1) для L = = 3 при Q = 1,4142 — мода Ламе (кривая 2) и Q — 1,4333 — краевая мода (кривая 3). Такое значение геометрии практически соответствует краю плато, однако и здесь краевая мода обладает своей характерной формой. [c.188] Интересной особенностью, связанной с наличием краевой моды в прямоугольнике, является уменьшение на единицу числа узлов в распределении (х, 1) при движении вдоль каждой спектральной кривой. Этот вопрос, а также вопрос о поведении собственных форм в зоне взаимодействия краевой и продольной мод, выделенной на рис. 63 кривой S, более подробно рассмотрен далее в главе 6 при изучении краевого резонанса в диске. Здесь мы остановимся на анализе распределения средней за период энергии по плош,ади прямоугольника для разных форм колебаний [47]. При этом особенности краевой моды получают еш,е энергетическое выражение. [c.189] Остановимся вначале на данных табл. 10. Для первой собственной формы имеем практически равномерное распределение энергии по объему тела. Для третьей формы наблюдается некоторая неравномерность в распределении, однако она не регулярна и не очень ярко выражена. В определенной мере это связано с тем, что разбиение на полосы не согласовано с особенностями конкретной формы колебаний. Такая же закономерность наблюдается и для пятой собственной формы. В целом можно сказать, что для третьей и пятой собственных форм энергия в определенном смысле поровну распределена между отдельными частями тела Иное положение наблюдается для четвертой собственной частоты, соответствующей краевому резонансу. Здесь из всего количества запасенной энергии более 60% ее сосредоточено в узкой полосе шириной 0,6/г у обоих торцов прямоугольника. [c.190] Как уже отмечалось, в последнем столбце табл. 10 и 11 помещено абсолютное значение величины Е, вычисленное по формуле (5.2) для двух типов нагрузку (5.1) Для каждой частоты и типа нагрузки имеем свое значение Е, отличное от других. Это отличие связано с двумя обстоятельствами Прежде всего степень возбуждения тела при вынужденных колебаниях зависит от близости частоты возбуждения к собственной. И хотя вычисления проведены для средних значений частот в установленных интервалах, определить степень их близости к собственным не представляется возможным. Кроме того, величина накопленной энергии существенно зависит от степени соответствия характера нагрузки и возбуждаемой формы колебаний. [c.190] Особенность деформирования прямоугольника при несоответствии нагрузки и формы колебаний, отраженная в табл. 11, указывает на один из недостатков предлагаемого подхода к изучению собственных частот и форм колебаний. Представленный пример свидетельствует о необходимости иметь определенное соответствие между заданной нагрузкой и искомой формой колебаний. С ситуацией невозбуждаемости мы встретились при попытке возбудить моды Ламе равномерной нормальной нагрузкой по сторонам прямоугольника. К счастью, требование соответствия между нагрузкой и формой не слишком жесткое, и в подавляющем большинстве расчетных случаев все исследуемые формы удается хорошо возбудить одним-двумя типами внешней нагрузки. [c.191] Затронутая проблема приобретает практическую важность при проведении экспериментальных исследований на поляризованных по толщине пьезокерамических пластинках. Несоответствие характера возбуждающего электрического поля некоторой форме колебаний приводит к очень малому значению эффективного коэффициента электромеханической связи. Однако знание механических характеристик форм колебаний, в частности распределения по площади суммы главных напряжений, позволяет соответствующим образом разрезать и переключить электроды и существенно повысить коэффициент электромеханической связи. Подробности такого подхода и соответствующие экспериментальные данные приведены в работе [39]. [c.191] Вернуться к основной статье