ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Отражение от свободной границы полупространства из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Важный частный случай общей проблемы составляет задача об отражении от свободной границы полупространства продольных и сдвиговых плоских двумерных волн. В этом случае выкладки достаточно просты и за счет наличия явных выражений для коэффициентов отражения достигается большая наглядность в оценке влияния разных факторов. Кроме того, полученные здесь соотношения позволят более глубоко осветить структуру дисперсионных соотношений в случае плоского волновода (см. гл. 4). [c.44] В процессе отражения сдвиговых и продольных волн от свободной границы 2 = 0 упругого полупространства суш,ествуют определенные различия, которые мы рассмотрим отдельно. Схематическое изображение ситуаций показано на рис. 9. Случай, показанный на рис. 9, а, соответствует падению продольной Р-волны, на рис. 9,6 — падению сдвиговой SV-волны. Такое построение рис. 9 в значительной мере предполагает заданной направленность волнового процесса, которая необходима для полной конкретизации задачи (глава 1, 5). [c.44] Как следует из (1.8), угол всегда больше угла 0, и в связи с этим при любом 0 величины A и Ф, вещ,ественны. [c.46] В случае 0 = 0° (скользящее падение) формальный переход к пределу в (1.7) дает Ф,= — Фо = 0. Если найденные значения постоянных подставить в выражения (1.1), (1.2), то убедимся, что движение отсутствует. Это обстоятельство следует считать кязани-ем на неприменимость соотношений (1.7) для случая скользящего падения, в связи с чем предпринимались попытки построить для данного случая решение, свободное от указанного недостатка [181]. Подход авторов работы [18IJ представляется довольно искусственным, поскольку основывается на предельном переходе, в основе которого лежит предположение о неограниченном росте амплитуды падающей волны при стремлении угла падения к нулю. Тогда для отраженных волн получаются решения, которые имеют неограниченно возрастающую амплитуду при 2- — оо. Однако построенное решение позволяет выполнить нулевые граничные условия на свободной поверхности полупространства. [c.46] При оценке отмеченного парадокса следует, конечно, иметь в виду, что изложенная задача об отражении плоских гармонических волн не является, по сути, изложением решения какой-либо граничной задачи, поскольку вопрос об источнике плоских волн не рассматривается. Если считать, что плоские волны являются достаточно хорошей аппроксимацией возмущений от некоторого конечного источника на большом расстоянии от него, то трудности с трактовкой скользящего падения (источник на границе) становятся понятными. [c.46] Главной характерной чертой процесса отражения от свободной границы падающей Р-волны является наличие в общем случае двух (Р и SV) отраженных волн. В бесконечном пространстве Р- и SV-волны могут распространяться независимо. Однако наличие свободной границы приводит к связи двух типов волновых движений через посредство граничных условий. [c.47] Из анализа этого соотношения следует, что существует критическое значение v = 0,2637. Если в материале v v, то уравнение (1.10) имеет два вещественных корня для угла падения в диапазоне (О, 90°). Для V V таких корней нет, т. е. при любых углах падения амплитуда отраженной Р-волны не равна нулю. [c.47] Рассмотренный случай отражения Р-волны от границы полупространства характеризуется также тем, что изменение угла падения не приводит к качественному изменению в волновой картине, т. е. мы всегда имеем отражение в виде распространяющихся волн. Иными словами, представленная на рис. 9, а лучевая картина процесса отражения продольной волны описывает и все характерные черты физики явления, за исключением случая скользящего падения. [c.47] В случае падения на свободную границу полупространства сдвиговой SV-волны ситуация существенно меняется. Движение частиц полупространства описывается скалярным потенциалом ф и компонентой йу векторного потенциала, т. е. [c.47] Интересной особенностью коэффициента отражения продольной волны является резкий рост его величины в окрестности критического угла падения. Максимальным он будет при значении угла у, близком к углу полного превращения мод. [c.49] Проявление полного превращения мод, кчк и в случае падения продольной волны, существенно зависит от коэффициента Пуассона. В связи с этим на рис. 12 приведены данные об изменении величины коэффициента отражения сдвиговых волн от угла падения для различных значений коэффициента Пуассона. Вычисления выполнены лишь для углов, меньших критических, и поэтому рис. 12 характеризует также зависимость критического угла от v. [c.49] Как и на рис. 10, здесь достаточно четко обнаруживается отсутствие полного превращения мод для значений v, больших некоторого V. Величина v устанавливается при анализе того же уравнения (1.10) и, следовательно, равна 0,2637. Однако углы падения, при которых происходит полное превращение сдвиговых или продольных волн, будут, конечно, различными. [c.49] Явление полного превращения мод при отражении от свободной поверхности наблюдалось экспериментально [100, 187]. Оно используется в работе специального прибора — ультразвукового гониометра [253]. [c.49] Кроме случая полного превращения одного типа движения в другой, в процессе отражения от свободной границы не меньший интерес представляет случай полного сохранения типа движения. Как можно установить из формул (1.9) и (1.13), для коэффициентов отражения единственным (за исключением нормального падения) таким случаем является случай Si= 1. В случае падения Р-волны величина не может быть равна единице. При падении SV-волны это равенство имеет место при у = 45°. [c.49] Такое значение угла падения является закритическим, т. е. лежит в той области значений у, где при отражении SV-волны возбуждается неоднородная продольная волна. Для у — 45° имеем, однако, Ai= Лц и Ф = 0, т. е продольная волна не возбуждается. Этот случай представляет большой интерес в связи с анализом специальных форм колебаний в упругих телах конечных размеров. [c.50] Вернуться к основной статье