ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенная теории пологих оболочек из "Теория упругих тонких оболочек " Не останавливаясь на подробностях, заметим, что. почти полярную систему координат можно построить на пологой части произвольной поверхности вращения, примыкающей к полюсу географической системы координат, При этом для того, чтобы выполнялись соотношения (10.21.8), надо только требовать, чтобы были достаточно малы первые три производные от функции, задающей меридиан оболочки. [c.141] Замечание. На пологой поверхности можно построить и такую систему координат, которая не удовлетворяет сильному неравенству (10.21.1). Примером может служить географическая система координат на сфере, если под пологой частью сферы будет подразумеваться малая окрестность какой-либо точки, расположенной у экватора, так как там sin 0 мало отличается от единицы. [c.141] В дальнейшем всегда, когда речь идет о пологой оболочке, будет предполагаться, что на ней установлена почти плоская система координат, и, следовательно, выполняются сильные неравенства (10.21.8). [c.141] В основу приближенного расчета пологих оболочек мы положим два следующих предположения. [c.141] Предположение 1. В первых двух уравнениях равновесия, выражаемых первым равенством (6.44.1), можно отбросить члены, содержащие перерезывающие усилия NX, No,. [c.141] Первую из этих гипотез можно подкрепить такими рассуждениями. [c.141] Рассмотрим подъемистую оболочку с неособой срединной поверхностью ( 9.13) и неасимптотическими краями. Ее приближенный расчет, вообще говоря, можно выполнить методом расчленения ( 9.13) (исключение представляет случай, когда основное напряженное состояние имеет слишком большую изменяемость к нему мы еще вернемся). Эго равносильно принятию предположения 1, так как и в теории основного напряженного состояния 7.1), и в приближенной теории простого краевого эффекта ( 8.9) в первых двух уравнениях равновесия перерезывающие усилия Ni, N отбрасываются. В случае, когда оболочка вырождается в пластинку, предположение 1 превращается в тривиальное утверждение, так как коэффициенты при Ni, N, в первых двух уравнениях равновесия при этом обращаются в нуль. Но пологая оболочка занимает промежуточное положение между подъемистой оболочкой и пластинкой, поэтому естественно ожидать, что предположение 1, имеющее силу для крайних случаев, останется правильным и для промежуточного случая. [c.141] Предположение 2 двойственно предположению 1 в смысле статикогеометрической аналогии. Его можно подкрепить рассуждениями такого же рода, но на этом мы останавливаться не будем. [c.141] Равенство (10.22.1) или, что то же, равенства (10.22.5) будут называться разрешающими уравнениями теории пологих оболочек. Каждая пара функций W, с, представляющая собой решение этих уравнений, определяет некоторое напряженно-деформированное состояние оболочки. Последнее можно построить при помощи прямых действий, к описанию которых мы переходим. [c.142] Ими и формулами (10.22.7) тангенциальные усилия и компоненты изгиб-ной деформации, а вместе с последними и моменты, выражаются через с и W. Перерезывающие усилия после этого можно найти при помощи уравнений рзБНОБесия и, наконец, при помощи первых двух равенств (6.44.6) определяются компоненты тангенциальной деформации. [c.143] Равенства (10.22.7), (10.22.8) вместе с уравнениями состояния можно назвать расчетными формулами теории пологих оболочек. Ими приближенно определяется напряженно-деформированное состояние. Остались неизвестными только тангенциальные смещения и , но, так как все компоненты деформации уже получены, перемещения можно строить, например, так, как описано в 4.27. [c.143] Есть и другой путь построения перемещений пологой оболочки. Поскольку Sj, ш, — известны, можно рассматривать равенства (7.5.1) как систему дифференциальных уравнений относительно и , ш. [c.143] Третью из этих величин надо также считать известной, так как она определяется при интегрировании разрешающего уравнения. Поэтому, сохранив два из трех равенств (7.5.1), мы будем иметь уравнения для определения Uj, и - При их решении произволы надо выбирать так, чтобы выполнилось отброшенное равенство (7.5.1). [c.143] Просмотрев еще раз выкладки 6.43, можно убедиться, что при выводе равенства (6.43.32) не были использованы ни первые два уравнения равновесия, выражаемые первым равенством (6.44.1), ни первые два уравнения неразрывности деформаций, выражаемые первым равенством (6.44.2). Покажем теперь, что если правильны предположения 1 и 2 и если отсутствуют внешние поверхностные тангенциальные силы, т. е. [c.143] Левые части их совпадают с левыми частями первого равенстБа (6.44.1), если в последних отбросить члены с Ni, а правые части будуг малы, если срединная поверхность пологой оболочки отнесена к почти плоской системе координат и вследствие этого выполняется сильное неравенство (10.21.1). [c.143] Уравнения неразрывности деформаций двойственны уравнениям равновесия, поэтому, повторив вышеприведенные рассуждения и выкладки, можно убедиться, что первые два ураБнения неразрывности деформаций приближенно удовлетворяются в силу допущения 2 и формул (10.22.8). [c.144] Замечания. 1. Требование (10.22.9) обязательно для излагаемого варианта теории пологих оболочек. Оио имеет силу лишь в случае, когда внешняя поверхностная нагрузка нормальна к средиииой поверхности оболочки. Обобщение иа случай Х[ =5 О ие сложно, но мы не будем иа этом останавливаться. [c.144] Вернуться к основной статье