ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упражнения из "Вариационные методы в теории упругости и пластичности " Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части А, приближенный метод решения, основанный на принципе виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной работы, модифицированном принципе виртуальной работы и модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы. [c.358] Наконец, докажите, что функция А (e, . .., Vxj J Щ эквивалентна обобщенной функции энергии деформации, введенной Геррмаиом [13, 141 для почти несжимаемых материалов. [c.359] Также для удобства вводится обозначение А (ui). Эта функция получается подстановкой (14.2) в (14.10) или (14.12) и выражением функции энергии деформаций через компоненты перемещений Ui. [c.361] После этих предварительных замечаний перечислим классические вариационные принципы, выведенные в гл. 3. Это будет сделано в следующем параграфе. [c.361] Ниже (в 14.5) мы рассмотрим некоторые другие подходы к формулировке принципа стационарности дополнительной энергии в нелинейной задаче теории упругости. [c.363] пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные элементы, как указано в 13.3, и при формулировке метода конечных элементов рассматривается как совокупность этих элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы, которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным принципом Хеллингера — Рейсснера. [c.363] В функционале (14.22) независимыми варьируемыми функциями являются и К( при дополнительных условиях (14.7). [c.365] мы несколько раз обращались к табл. 14.1. Естественно сделать вывод, что можно построить конечно-элементные модели, соответствующие приведенным в этой таблице вариационным принципам, способами, аналогичными принятым в линейной статической теории упругости. Среди этих моделей конечных элементов наиболее часто используется согласованная модель, основанная на принципе стационарности потенциальной энергии. Эта модель будет кратко обсуждаться с следующем параграфе. [c.366] В работе И] показано, что этот поправочный член играет существенную роль в предотвращении расходимости приближенного решения метода последовательных приближений относительно точного решения. [c.368] В работе (2] дается обзор разнообразных методик численного решения задач геометрически нелинейной теории упругости. Они включают методы последовательных приближений, метод Ньютона — Рафсона, метод возмущений и метод начальных значений. Там же обсуждаются основные особенности методов и даются рекомендации по их оптимальному использованию. В этой же работе указывается, что трактовка задачи нелинейной теории упругости как задачи с начальными данными открывает путь к огромному числу новых процедур численного решения. С деталями этих методов и их приложениями к МКЭ читатель может ознакомиться по работам [1—4]. [c.368] В конце 14.2 было указано, что при помощи тензора напряжений Кирхгофа i j не удается выписать принцип стационарности дополнительной энергии. Однако время от времени возобновляются попытки сформулировать принцип стационарности дополнительной энергии в нелинейной теории упругости, а именно такой принцип, в котором как функционал, так и дополнительные условия выражаются только через напряжения [d—161. Из разных подходов, которые предлагались для решения этой интересной задачи, отметим два подхода, берущие начало от принципа стационарности потенциальной энергии с функционалом (14.15). [c.368] В этом подходе выражается через вращения элементов среды как твердого тела и тензоры напряжений Пиолы. [c.369] Эти уравнения выражают физический смысл множителей Лагранжа. Соотношения (14.44) и (14.45) показывают, что 5,у образуют тензор напряжен Пиолы (см. прилож ие Е). [c.369] что (14.52) — это функционал принципа стационарности дополнительной энергии в задаче нелинейной теории упругости, причем варьируемыми функциями являются дц, удовлетворяющие дополнительным условиям (14.45) и (14.47), линейным относительно 5 . К сожалению, в общем случае такое обращение весьма затруднительно ). Следовательно, для практического применения МКЭ скорее всего не стоит пытаться выполнять обращение для получения принципа стационарности дополнительной энергии, а целесообразно ограничиться функционалом выбирая в качестве независимых варьируемых величин dij и ац, на которые наложены дополнительные условия (14.45) и (14.47). [c.370] Здесь мы проследим по табл. 15.1 только путь вывода вариационных принципов из принципа виртуальной работы, выводя принцип Гамильтона, обобщенный принцип, принцип Хеллин-гера — Рейсснера н заканчивая принципом стационарности дополнительной энергии. Другие способы преобразований, при которых получаются модифицированные принципы со смягченными условиями непрерывности, читатели могут найтн в работах [4—61. [c.372] Отметим еще раз, что Suj (j j, х , ха. О — виртуальная вариация U xt, Xi, Хз, t) в момент t. Читатель может убедиться, что функция йг = К Ьщ играет роль допустимой функции в (15.14). Аналогичные формулировки в задаче динамики системы материальных точек приведены в приложении В. [c.373] 14) независимыми варьируемыми функциями являются Ui при дополнительных условиях (15.6) и (15.9). [c.374] Уравнение (15.33) — другое выражение для принципа стационарности дополнительной энергии, который теперь выражается через импульсы и скорости, а не через силы и перемещения (4]. [c.376] Мы не будем углубляться в такие темы, как модифицированные вариационные принципы линейной динамической теории упругости, классические и модифицированные принципы динамической теории упругости с учетом больших перемещений и т. д., поскольку эти принципы формулируются аналогично тому, как это сделано выше. В последнем параграфе этой главы будет сделано замечание о принципе Гуртина. [c.377] Используя эти соотношения, Гуртин вывел семейство вариационных принципов, имеющее структуру, аналогичную показанной в табл. 13.1, с той только разницей, что в этих принципах появляется функция g, используются свертки, учитывается влияние начальных условий и член с р. За подробностями читатель отсылается к оригинальным работам Гуртина. В заключение отметим, что вариационные формулировки, использующие интегралы типа свертки, использовались и в теоретических работах по применению методов конечных элементов в нестационарных задачах [12—15]. [c.378] Вернуться к основной статье