ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип виртуальной работы из "Вариационные методы в теории упругости и пластичности " ТО выражения (1.16) и (1.23) принимают одинаковый вид. [c.29] Это н есть принцип виртуальной работы для задачи, поставленной в 1.1. Этот вариационный принцип остается в силе для произвольных бесконечно малых виртуальных перемещений, удовлетворяющих заданным граничным условиям в перемещениях ). [c.31] Далее рассмотрим, какого рода уравнения могут быть получены из принципа виртуальной работы, если принять, что этот вариационный принцип справедлив для произвольного допустимого перемещения. Проводя все рассуждения в обратном порядке, можно получить (1.28) из уравнения (1.32). Поскольку бы, 6v, 6w произвольны в V и на Sj, требуется, чтобы все коэффициенты в (1.28) были равны нулю. Отсюда мы получаем уравнения (1.26) и (1.27). Таким образом, принцип виртуальной работы эквивалентен уравнениям равновесия в V н граничным условиям в напряжениях на Si- Стоит отметить, что принцип виртуальной работы выполняется безотносительно к конкретному выбору зависимостей напряжений от деформаций. [c.31] Подставляя (1.42) в (1.40), получаем систему Зп линейных уравнений относительно Зп неизвестных постоянных а , Ь , (г = = 1, 2,. .., п). Разрешая эти уравнения, определяем величины а Ьг, f. Подставляя полученные числа в (1.34), получаем приближенное решение в перемещениях. [c.33] Выбрав соответствующим образом функции и , Vo, щ, г (г = I.п) и число п, можно получить хорошее приближенное описание д ормированного состояния. Однако точность определения напряженного состояния из (1.42) с постоянными а Ь как правило, не столь хороша. Это становится ясным, как только мы вспомним, что заменили уравнения равновесия (1.4) и граничные условия в напряжениях (1.12) Зп-членным выражением с весовыми коэффициентами (1.41), а также то, что точность приближенного решения понижается при дифференцировании. Уравнения равновесия и краевые условия в напряжениях при применении этого метода обычно удовлетворяются, по крайней мере локально, с невысокой точностью. [c.33] Точность приближенного решения может быть повышена, если увеличить число членов в суммах, т. е. п. Если представить себе (1.34) как совокупность всех допустимых функций при п оо, то можно надеяться, что приближенное решение будет стремиться к точному решению при достаточно больших пив пределе перейдет в точное решение. Однако требуется опыт и интуиция, чтобы получить точное решение, оставляя только несколько членов в уравнениях (1.34). [c.33] Формула (1.50) выражает принцип дополнительной виртуальной работы. Этот вариационный принцип справедлив для произвольных бесконечно малых вариаций напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и заданным граничным условиям в напряжениях. Как видно, принцип дополнительной виртуальной работы имеет форму, двойственную к вариационному принципу виртуальной работы (1.32). [c.35] При отсутствии массовых сил уравнения равновесия сводятся к (1.24), которые удовлетворяются при введении функции напряжений Эри (1.25). [c.36] Один нз вариантов постановки двумерной задачи теории упругости — это задача о плоском напряженном состоянии тонкой изотропной пластины со свободными поверхностями. Для плоского напряженного состояния = О и поэтому ej = —v (а - - Оу) [2]. Другим вариантом двумерной задачи теории упругости является задача о плоской деформации, которая также описывается уравиеииями (1.51), гдеследуеттолькозаменить и v на = /(1 —V ), V = v/(l — V) и использовать соотношения = 0, = —v (а -f- Оу) [2J. [c.36] При помощи уравнений (1.51) и (1.61) уравнения (1.65) можно свести к системе п уравнений относительно а, (г = 1, 2,. .., л). Решая эти уравнения и подставляя найденные величины в (1.61), получаем приближенные выражения для напряжений. Удачно подбирая функции F ,. .., можно определить напряжения с большей точностью. Точность приближенного решения зависит от некоторых факторов, влияние которых оценивается так же, как и в 1.5. [c.38] Отметим здесь, что деформации, определенные из решения, использующего приближение для функции напряжений, в общем случае не удовлетворяют уравиеииям совместности. Например, как видно из (1.66), уравнения (1.65) имеют вид взвешенных средних и, следовательно, аппроксимируют уравнения совместности в двумерной задаче. Хотя в качестве примера рассматривалась двумерная задача, обобщение на случай трех измерений выполняется непосредственно. [c.38] С Другой стороны, в 1.6 мы вывели принцип дополнительной виртуальной работы. Выбирая далее ба , 8а , бт у, фигурирующие в (1.50), в качестве независимых варьируемых переменных, и принимая (1.48) и (1.49) в качестве ограничений, получим иную формулировку принципа дополнительной виртуальной работы использование уравнений равновесия (1.4) и граничных условий в напряжениях (1.12) в принципе дополнительной виртуальной работы (1.50) приводит к соотношениям перемещения — деформации (1.5) и граничным условиям в перемещениях. [c.40] Отсюда заключаем, что (1.71) обеспечивает выполнение (1.18а) как условий совместности. Аналогичная процедура с ислользо-ванием функций напряжений Морера приводит к уравнениям совместности (1.19а). [c.40] Читатель уже убедился в 1.7, что использование функции напряжений Эри в принципе дополнительной виртуальной работы приводит к условию совместности для двумерной задачи. [c.40] Отметим, что для многосвязного тела, каким является тело с отверстиями, формулировка принципа дополнительной виртуальной работы при подстановке функций напряжений дает другие геометрические условия, так называемые условия совместности в большом 120, 211. Простой пример этих условий будет приведен в 6.3. В гл. 10 мы покажем, что условия совместности в большом играют важную роль в теории конструкций. [c.40] 6 было установлено, что принципы возможных перемещений и дополнительной виртуальной работы являются двойственными при изучении задач теории упругости. [c.41] Далее с использованием этих соотношений докажите, что для одиосвязиого тела условия совместности выражаются уравнениями 0-15). [c.45] Примените эти рассуждения и выкладки к остальным соотношениям (i) и (ii). [c.46] Предположим, что тело V фиктивно разбито на две подобласти Va н V (рнс. 1.3). Как перемещения, так и напряжения предполагаются непрерывными в каждой из подобластей. [c.47] В настоящей главе обсуждаются вариационные принципы теории упругости при малых перемещениях. В этом параграфе принцип минимума потенциальной энергии будет выведен из принципа виртуальной работы, установленного в 1.4. [c.49] Вернуться к основной статье