ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы РАСЧЕТ АБЕРРАЦИЙ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ из "Оптика дифракционных элементов и систем " Рц представляют собой разности направляющих косинусов реального и идеального лучей в точке А и называются угловыми аберрациями. [c.39] В выражениях для Fg , аргументы функций в правой части не указаны, так как они такие же, как и в предшествующих выражениях для и F . С помощью использованного приема можно найти формулы преобразования аберраций и последующих порядков, однако уже в седьмом порядке эти формулы достаточно громоздки. При дальнейшем увеличении номера порядка малости следует ожидать катастрофического усложнения соответствующих выражений, особенно за счет аргументов функций. [c.41] Нетрудно видеть, что в выражениях (2.5) для угловых аберраций пятого и седьмого порядков также есть члены, соответствующие проективному преобразованию, однако в них есть и дополнительные члены, учитывающие реальный ход световых лучей при наличии аберраций. Ясно, что координаты точки плоскости М, в которую попадает луч, проходящий через точку Л( , т)) плоскости М, за счет аберраций будут несколько отличаться от тех, которые дает проективное преобразование. Начиная с пятого порядка, это отличие необходимо учитывать. В соотношениях (2.5) для Fgj, F учтено влияние аберраций третьего порядка в плоскости М, а для F , F — аберраций третьего и пятого порядков. Экстраполируя эту закономерность, приходим к выводу, что для вычисления по результатам лучевого расчета волновой аберрации в новой плоскости с точностью до k-TO порядка малости необходимо рассчитывать ход лучей с точностью АО k — 2-го порядка, причем численное значение волновой аберрации с указанной точностью сохраняется вдоль каждого из прослеженных световых лучей. Вдоль реального светового луча (ход которого рассчитывают с учетом аберраций всех порядков) сохраняется точное численное значение волновой аберрации, что соответствует смыслу данного в п. 1.3 определения волновой аберрации. [c.42] Рассмотрим преобразование аберраций сферической волны в случае, когда их задают и вычисляют на сферических поверхностях. Общий путь решения остается таким же, как и для плоской задачи, но используемые формулы существенно усложняются, поэтому ограничимся пятым порядком малости. Пусть эйконал аберрированной сферической волны известен на сфере G радиуса г с вершиной в начале координат (рис. 2.2). Требуется найти волновые аберрации на сфере G радиуса г с вершиной на расстоянии t от вершины сферы G (центры обеих сфер лежат на оси z, которая определяет и вершины поверхностей). В частном случае при 1/г= 1/г — 0 приходим к уже рассмотренной плоской задаче. [c.42] Соотношения (2.9) показывают, что при распространении сферической волны аберрации перераспределяются по типам, причем можно выделить два характерных процесса. Прежде всего перераспределяются типы аберраций внутри каждого порядка малости таким образом, что аберрации, содержащие зрачковые координаты (см. п. 1.3) в более высоких степенях, порождают аберрации, содержащие зрачковые координаты в менее высоких степенях. [c.48] Из выражений (2.9), например, следует, что даже если оптический элемент на своей собственной поверхности обладает только сферической аберрацией (дифракционная асферика), то на конечном расстоянии от элемента сформированная им сферическая волна характеризуется уже всеми типами аберраций. Именно на этом свойстве процесса распространения сферической волны основан прием коррекции оптических систем за счет взаимного расположения компонентов, когда два находящихся на определенном расстоянии друг от друга оптических элемента образуют систему со скомпенсированными аберрациями, хотя при расположении этих элементов вплотную подобного эффекта достичь нельзя. Внутрипорядковое перераспределение типов аберраций при распространении сферической волны соответствует проективному преобразованию аргументов функций в формулах (2.8). [c.48] Второй вид перераспределения типов аберраций заключается в том, что низшие порядки порождают аберрации высших порядков, и возникает при учете отклонения хода лучей от проективного преобразования. Это свойство процесса распространения аберрированной сферической волны в отличие от предыдущего нигде не используют из-за отсутствия аналитических методик, учитывающих аберрации высших порядков, за исключением нескольких частных случаев. [c.49] Несмотря на то что при переходе от плоскостей к сферам формулы преобразования угловых аберраций пятого порядка существенно усложняются [ср. формулы (2.5) и (2.8)], в развернутых соотношениях для канонических коэффициентов волновой аберрации (2.9) это усложнение не столь заметно. Помимо чисто аналитического расчета (см. гл. 4) формулы (2.9) можно использовать в качестве основы для программы расчета на ЭВМ таких характеристик оптической системы, как волновая аберрация, оптическая передаточная функция и др., без прослеживания хода лучей через систему, а следовательно, с минимальными затратами машинного времени. Такой метод расчета оправдан, если аберрации седьмого порядка в данной оптической системе незначительны по сравнению с аберрациями третьего и пятого порядков, что бывает не всегда. [c.49] О2 — опорная точка на поверхности Л . [c.50] Таким образом, волновые аберрации сферической волны, падающей на оптический элемент, если они вычислены на поверхности элемента, должны быть просто сложены с аберрациями, которые вносит этот элемент, когда на него падает идеальная сферическая волна. Тот же результат получается, если предположить, что какая-либо из точек Р,, Р[ (Pg) Р 2 находится на бесконечном расстоянии (изменяется только подход к определению оптического пути от источника до поверхности элемента). [c.50] Алгоритм расчета аберраций оптической системы представим теперь в следующем виде. Аберрации первого элемента системы (на него падает идеальная сферическая волна), выраженные в координатах им формируемого изображения, пересчитывают с поверхности первого элемента на поверхность второго и выражают через координаты изображения, формируемого вторым элементом. После этого их суммируют с аберрациями второго элемента, выраженными в тех же координатах. Суммарные аберрации пересчитывают на поверхность третьего элемента, выражают через координаты им формируемого изображения, суммируют с аберрациями третьего элемента и т. д. вплоть до последнего элемента системы. Подобный алгоритм наиболее адекватно отражает суть аберрационного расчета, но применять его можно в основном при использовании ЭВМ, аналитически же только в простейших случаях. На практике обычно стараются упростить по мере возможности аберрационный расчет, используя свойства симметрии системы, если они есть (см. п. 4.2), или известные выражения для аберраций ее составных частей (не элементов ), или известные общие соотношения для аберраций оптических систем в третьем или другом порядке малости. [c.52] Рассмотрим подобные общие соотношения для оптических систем с аксиальной симметрией, состоящих из ряда бесконечно тонких элементов (или просто поверхностей, как принято говорить в оптике) с известными фокусирующими и аберрационными свойствами. Допустим, аксиально-симметричная система состоит из k сферических (или плоских) поверхностей, разделяющих однородные среды с известными показателями преломления. Эти поверхности могут быть преломляющими элементами, если разделяют среды с различными показателями преломления, а могут быть дифракционными элементами, если несут на себе соответствующую структуру (показатель преломления равен 1 по обе стороны поверхности). В первом случае исчерпываюш,ий характеристикой элемента будет радиус поверхности, во втором кроме радиуса необходимо знать эйконал записи ДОЭ. [c.52] Мента), лежит на расстоянии Si от вершинной касательной плоскости t-ro элемента промежуточное изображение, формируемое. t-M элементом, лежит на расстоянии s от той же плоскости. Правило знаков для отрезков s , s стандартное s , s. О, если соответствующее изображение находится слева от поверхности элемента (свет распространяется слева направо), и наоборот. [c.53] Теперь необходимо перейти к координатам изображения, формируемого t+1-м элементом, и прибавить вносимые им аберрации. Однако из выражения (2.6) следует, что если аберрации сферической волны представляют собой сумму двух или более слагаемых (в данном случае — сумма аберраций г-го и i4-l-ro элементов), то при распространении волны эти слагаемые преобразовываются независимо, не влияя друг на друга. Подобное свойство закона преобразования аберраций в третьем порядке — прямое следствие того, что замена зрачковых переменных в аргументе функции волновой аберрации в этом случае полностью соответствует проективному преобразованию. В результате в третьем порядке малости будем рассматривать аберрации каждого элемента отдельно, так, как будто все остальные элементы системы безаберрационные, и только потом суммируем искажения, вносимые всеми элементами. [c.55] Соотношение (2.15), как и (2.6), описывает преобразование волновых аберраций третьего порядка при распространении сферической волны, но в отличие от (2.6) дает связь между аберрациями в оптически сопряженных плоскостях. В п. 2.1 при выводе формулы (2.6) предполагалось, что волна распространяется в. свободном пространстве, тогда как выражение (2.15) справедливо только при наличии оптического элемента между рассматриваемыми плоскостями, который и обеспечивает их оптическое сопряжение. Если в соотношении (2.6) при переходе в другую плоскость зрачковые координаты заменяются линейными комбинациями новых зрачковых координат и координат центра кривизны сферической волны, в результате чего происходит перераспределение аберраций по типам, то в (2.15) все сводится к изменению масштаба координат зрачка и предмета, а перераспределений аберраций по типам не происходит. Конечно, именно к такому результату для сопряженных плоскостей должно было привести проективное преобразование, которому подчиняется замена переменных в аберрациях третьего порядка. [c.56] Тот же результат можно получить, последовательно преобразуя аберрации от элемента к элементу и каждый раз добавляя искажения, вносимые очередной поверхностью системы. Формула (2.16) математически выражает важный для теории третьего порядка факт в этом порядке аберрации системы можно выразить в виде суммы аберраций составляющих ее элементов, заданных в их выходных зрачках и пересчитанных в выходной зрачок системы путем соответствующих масштабных изменений зрачковых и полевых координат. Для получения столь простой формы суммарных аберраций аберрации элементов были заданы в плоскостях их выходных зрачков (сопряженных плоскостях), а не на поверхностях самих элементов (которые оптически не сопряжены). [c.57] Отметим, что соотношение типа (2.16) можно получить для любой другой системы оптически сопряженных плоскостей, не обязательно связанной с выходными зрачками элементов. Однако при оценке аберрационных искажений изображения, формируемого системой, необходимо знать области изменения зрачковых и полевых координат. При этом оказывается, что только в плоскости выходного зрачка системы (и во всех плоскостях входных и выходных зрачков элементов системы) область, через которую проходят лучи, формирующие изображение, — область изменения зрачковых координат — не зависит от положения точки изображения (предмета), т. е. от области изменения полевых координат. Независимость зрачковых и полевых координат в плоскости зрачка заставляет во всех расчетах пересчитывать суммарные аберрации именно в эту плоскость. По этой же причине координаты точки поверхности (плоскости), на которой рассматривают аберрации, были заранее названы зрачковыми. Следует отметить, что независимость координат в плоскости выходного зрачка соблюдается только в первом приближении. На самом деле размеры и форма области в плоскости выходного зрачка, которую занимают лучи, равномерно заполняющие входной зрачок, могут сильно изменяться при удалении полевой точки от оси. Это явление, получившее название аберрационного виньетирования, особенно важно для широкоугольных объективов [39], которые в настоящей книге не рассматриваются. [c.57] Оказывается, если выразить волновые аберрации каждого элемента системы в координатах Зайделя, то суммарные аберрации третьего порядка системы в ее выходном зрачке (в выходном зрачке системы координаты Зайделя совпадают с обычными) равны просто сумме аберраций элементов даже без масштабного преобразования переменных. Обычно в курсах оптики координаты Зайделя определяют заранее, после че,го получение суммарных аберраций системы простым сложением выглядит следствием введения особых координат. Встречаются даже утверждения, что этот результат не имеет аналогов в обычных координатах [7]. Кроме того, использование такого искусственного построения, как эйконал Шварцшильда, который не имеет ясного физического истолкования, оставляет всегда открытым вопрос о том, какой же физический процесс лежит в основе законов преобразования и сложения аберраций. [c.58] Суммы Зайделя допускают много различных представлений. В частности, возможны переход к выражениям, включающим параметры только одного нулевого луча [7], или замена отрезков s., i на тангенсы углов нулевых лучей с оптической осью [45], но вряд ли это представляет интерес в настоящей работе. Основные результаты для аберраций третьего порядка оптической системы с аксиальной симметрией уже получены. Вывод сумм Зайделя для систем, состоящих из оптических элементов произвольного вида, т. е. не только рефракционных, но и дифракционных, позволяет применить к ним известные методики расчета аберраций третьего порядка, разработанные для чисто рефракционных систем [40]. [c.61] Таким образом, только два последних члена рассмотренного соотношения отличают его от выражения (2.20). Эти слагаемые возникают в результате учета отклонения хода реальных световых лучей от определяемого проективным преобразованием (см. п. 2.1), и оба они равны нулю, если хотя бы у одного из элементов i-ro или i1-го нет аберраций третьего порядка. Несколько преобразуя оставшиеся члены, получим окончательно для угловых аберраций i-ro элемента, пересчитанных в выходной зрачок i - - 1-го элемента. [c.63] Вернуться к основной статье