ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постоянное напряжение в деформируемой среде из "Эластичные жидкости " Вопрос о том, как понимать состояние постоянного напряжения в среде, изменяющей форму, возникает при стремлении дать описание напряжения, не зависящее от любого квазитвердого движения тела (стр. 84). [c.438] В главе 12 при обсуждении временных производных напряжения отмечалась невозможность в общем случае приписать какой-либо смысл концепции постоянного напряженного состояния в деформирующейся среде. Разберем это утверждение. Рассмотрим вначале, как иногда понимают и как следует понимать выражения постоянное напряжение или состояние постоянного напряжения . [c.438] Обратимся к сдвиговому течению раствора полимера в вискозиметре с концентрическими цилиндрами. Пусть скорость сдвига постоянна. Тогда давление и крутящий момент, передаваемые раствором на стенки цилиндра, будут меняться со временем и постепенно достигнут некоторых постоянных значений. В таком случае часто говорят, что напряжение достигло стационарного со стояния или напряжение стало постоянным . Подоб ного рода утверждения вводят, однако, в заблуждение Напряжение или состояние напряжения, как известно определяется внутренними напряжениями, действую ишми на трех различных поверхностях (или трех раз личных семействах поверхностей в случае неоднород ных напряжений). В упомянутом же эксперименте стало постоянным внутреннее напряжение только на одно поверхности (или одном семействе поверхностей — кон центрических жидких цилиндров). Нет оснований утвер ждать то же самое относительно других материальных поверхностей, изменяющих свою форму и ориентацию. [c.438] Ясно одно — реологический смысл следует искать скорее с помощью вмороженного в среду векторного базиса, нежели опираясь на фиксированные в пространстве оси. Тогда достаточно ограничиться состоянием однородного напряжения и деформации, так как обобщение на неоднородные условия нетрудно сделать, следуя главе 12. В этом случае материальная плоскость все гда остается плоскостью. Достаточно также рассмо треть лишь два состояния /j, /2, связанные однородной деформацией, и попытаться приписать смысл утвержден нию о равенстве мелсду собой напряжений в состояниях t] и t2. Затем полученный результат можно уже немедленно перенести на любую последовательность состояний. [c.439] Перечисленные условия, как будет показано ниже, настолько жестки, что удовлетворяются лишь в вырожденных случаях изотропного напряжения или деформации. Во всех других ситуациях напряжение в среде нельзя считать постоянным. Это составляет содержание следующей теоремы о напряжениях и переменных формы, отнесенных к произвольной системе вмороженных векторов. [c.440] Первая из указанных возможностей, очевидно, отвечает случаю изотропного напряжения (и величины а) в обоих состояниях, вторая — изотропной деформации, т. е. всестороннему расширению или сжатию (дилата-ции). Справедливость последнего утверждения верна из (2.45) и (2.56) при выборе базиса, ортонормального в одном из двух рассматриваемых состояний, а при другом выборе базиса следует из результатов главы 8. Сюда включен также случай деформации среды как целого (Л=1). Когда ХФ1, состояние напряжения неизменно, хотя компоненты непостоянны, как это следует из (А2). [c.440] Теорему будем доказывать в следующем порядке. Дадим вначале обоснование достаточности условия (А1) либо (А2) для обеспечения постоянства нормальных компонент (требование 1)). Затем докажем его необходимость. Наконец, докажем его достаточность для выполнения требования 2) — постоянства тангенциальных составляющих. [c.441] Нижние индексы 1 и 2 относятся к величинам в состоянии i и 2 соответственно. Правая часть (АЗ) (для всех значений rji и, следовательно, для всех плоскостей) обращается в нуль при допущении справедливости соотношения (А1) или (А2). Значит, условий (А1) и (А2), действительно, достаточно для выполнения признака 1). [c.441] В силу симметрии этих равенств относительно циклической перестановки индексов, достаточно ограничиться рассмотрением следующих групп. [c.442] Это уравнение справедливо для любых 111112 и ria, значит, либо Y = 0, либо 01 = 02. [c.443] Если О] = 02, то из I), 5), 6) и (А7) следует, что Oi = = 02 = 03 и n = OiY . Отсюда с помощью (А5) устанавливаем справедливость (А1). [c.443] Пусть y = 0. Тогда из Г), 5) и 6) следует справедливость 4). Этот случай уже рассматривался и было показано, что выполняются уравнения (А2). [c.443] Этим исчерпывается доказательство необходимости требований (А1) или (А2) для удовлетворения условия 1). [c.443] Остается рассмотреть случай, когда выполняется (А2). На этой стадии доказательства коэффициент в (А2) для удобства взят в виде Это вполне законно, так как ( 2) и v ( i) больше нуля, следовательно, коэффициент должен быть положительным. [c.443] Вернуться к основной статье