ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Идеально упругие изотропные тела из "Эластичные жидкости " Настоящая глава значительно математичней предыдущих и при первом чтении может быть пропущена, хотя используемый математический аппарат остался прежним, а некоторые полученные уравнения используются в главе 10 при обсуждении экспериментальных данных. [c.203] Таким образом, компоненты напряжения должны быть производными от одной скалярной функции. Простая форма (8.10) была дана Бриллюеном Олдрой-дом и Грином и Зерна р ] она справедлива как для изотропных, так и для анизотропных материалов. [c.206] Убедиться в этом нетрудно. Произвольная однородная деформация может быть полностью определена длинами Ха, Хь, Хс и ориентацией полуосей некоторого эллипсоида, так называемого эллипсоида деформации. Изотропной мы называем среду, изучаемые физические свойства которой одинаковы по всем направлениям— в нашем случае это свободная энергия или, более точно, разность величин свободной энергии в напряженном и ненапряженном состояниях. Следовательно, для изотропного упругого тела свободная энергия в состоянии / может зависеть от длины полуосей эллипсоида деформаций, но не должна зависеть от их ориентации относительно материала. Поэтому длины ка, Хь, К могут входить в F только в симметричных комбинациях (таких, как (8.3)). Эти требования, очевидно, необходимы для того, чтобы было одинаково изменение свободной энергии для двух деформаций fo- t и отличающихся лишь ориентациями (относительно среды) главных осей. [c.207] Соотношения (8.2), (8.3), связывающие Ji, J2, J3 и Yij. У Ч о) с главными значениями Ха, Хь, Кс, выводятся в Упражнениях к главе 2, задачи Яэ 7—9. Базис, используемый для определения величин уг , y Hio), произвольный, поэтому соотношения напряжение — деформация, которые будут получены из скалярной функции (8.11) с помощью (8.2), имеют форму, существенно не зависящую от выбора базисных векторов. [c.208] При выводе второго из этих уравнений мы поменяли местами индексы ij и rs в выражениях yrsdya и yijdyrs, полученных после дифференцирования системы (8.2), и воспользовались известной симметрией переменных формы yij и Y . Третье из уравнений (8.12) получено с помощью результатов решения задачи 9 Упражнений к главе 1. [c.208] Кроме того, мы снова приходим к уравнению (8.9). Уравнение (8.14) можно было бы вывести из (8.10) с помощью (8.11) н (8.12), но мы предпочли менее рискованный путь, позволяющий избежать возможных ошибок из-за того, что не все дифференциалы dyij независимы. [c.209] Таким образом, рц = 0, когда 1ф 1, и это показывает, что на любой плоскости, перпендикулярной базисному вектору, нет тангенциальных компонент напряжения. Следовательно, такие плоскости являются, согласно определению, приведенному в задаче 1 Упражнений к главе 3, главными плоскостями напряжения. Значит, главные оси напряжения совпадают с главными осями деформаций, что завершает доказательство. [c.210] Вернуться к основной статье