ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Взаимные векторы из "Эластичные жидкости " Второе выражение приведено для подчеркивания того, что индекс (/ или k в данном случае), по которому производится суммирование (так называемый немой индекс), может быть заменен без ущерба для величины суммы. [c.21] Следует пояснить некоторые введенные нами обозначения. Верхние и нижние индексы используются для обозначения различных величин. Так, i —символы различных переменных. Вектор е который будет введен в следующем параграфе, отличается от ei. Применение верхних и нижних индексов не только в значительной мере способствует ясности последующего изложения, но имеет также более глубокий смысл в связи с понятиями ковариантности и контравариантности. Более полное обсуждение этих понятий выходит за рамки данной книги (за исключением главы 12). Чтобы не смешивать верхний индекс со степенью, мы будем при необходимости заключать в скобки величину, возводимую в степень. Так, например, (g ) обозначает квадрат а (ез) — куб сг. Если встречающийся в тексте символ, например г, используется без верхнего индекса, то необходимость в скобках отпадает и тогда, например, r будет, как обычно, обозначать квадрат г. [c.21] Если ei, 62, Вз образуют левую тройку, то для сохранения в силе (1.16) в определении (1.15) следует изменить знак. В последующем мы для определенности будем пользоваться правой системой ei, в2, вз, если только противоположное не будет оговорено особо. [c.22] В качестве простейшего примера применения взаимных векторов е рассмотрим вывод соотношений для коэффициентов g в разложении (1.10) произвольного вектора г по осям базиса е, . [c.22] Уравнения (1.23) с оговоркой уфО справедливы для любых величин i , связанных между собой соотношением (1.21). В частности, для справедливости (1.23) не обязательно, чтобы удовлетворялось (1.19). [c.23] Доказательство (1.19). Оно следует немедленно из определения (1.18) и из независимости величины скалярного произведения от перестановки сомножителей (свойство переместительности). Величины с двойными индексами типа удовлетворяющие условию (1.19), называются симметричными. Симметрия означает, что из девяти величин y j (i, /=1, 2, 3) только шесть независимы. [c.23] После подстановки коэффициентов в (1.25) придем к требуемому соотношению (1.20). Второе из уравнений (1.20) доказывается таким же способом с помощью представления е, в виде линейной комбинации взаимных базисных векторов e . Это всегда возможно в силу их линейной независимости. [c.24] Следует отметить несущественность порядка суммирования в двойной сумме. Однако необходимо пользоваться неодинаковыми символами для индексов различных слагаемых (как в только что рассмотренном случае) при перестановке знаков суммирования либо при их написании без скобок подряд друг за другом. [c.24] Полученные уравнения образуют систему линейных соотношений, связывающих между собой векторы е . Из их линейной независимости следует, что коэффициенты при 6h в правой части должны быть равны нулю при k i и единице при k = i. Именно это свойство выражают уравнения (1.21). [c.24] Доказательство (1.23). Для вывода (1.23) из (1.21) без привлечения (1.18) или (1.19) мы должны прежде допустить, что уц суть заданные величины (с Y= 0), связанные с у соотношением (1.21). [c.25] Теперь докажем теорему, которой мы впоследствии будем часто пользоваться. [c.26] Задавая, например, 1 = , /2 = 4 = 0, находим из (1.28), что Л = 0 и точно так же А =А = 0. Полагая h = h= , /i = 0, найдем, что Д23 дз2 = о, и следовательно, так как А =А =0. Аналогично находим A = A =0, что доказывает следствие 1. [c.26] Следствие 3. Для справедливости теоремы и следствия 2 достаточно рассмотреть шесть подходящим образом выбранных отрезков 1 . [c.27] Зависимость (1.33) удовлетворяется для каждой тройки чисел и из (1.32). Число 2 f получилось потому, что величины /, суть компоненты единичных векторов. Как и при доказательстве следствия 1, поочередная подстановка первых трех числовых совокупностей (1.32) в (1.28) дает п 22 зз о. Точно так же подстановки следующих трех числовых совокупностей (1.32) и использование условия приводят к результату Л23=Лз = Л 2 = 0. [c.27] Знак равенства возможен только при е = е и 0 = пл (п — нечетное). Это должно означать, что 2 = —е , что противоречит допущению линейной независимости базисных векторов. Коэффициент при (/г) , следовательно, существенно положителен, а сама величина k — конечна. [c.28] Матричное исчисление обладает сформулированными правилами и методами, развитыми для различных операций с такими таблицами величин. Мы, однако, в своем изложении не предполагаем наличия у читателя знаний матричного исчисления, но будем пользоваться некоторыми матричными обозначениями для довольно скромных потребностей изложения, где они могут просто встречаться, не оказывая какого-либо влияния на выкладки. [c.29] Реологические свойства материалов — это существенно макроскопические свойства, и при их описании мы можем игнорировать факт прерывности материи в молекулярном масштабе. Истолкование этих свойств все же может потребовать учета молекулярной структуры вещества. Представления такого рода, однако, не составляют нашего главного интереса и не входят в задачу книги. [c.32] Поэтому в дальнейшем материалы рассматриваются как сплошные среды в том смысле, что их можно представлять непрерывным распределением вещественных частиц — точек, заполняющих целиком в каждом состоянии трехмерное пространство. Под термином состояние , или конфигурация , понимается то, что частицы вещества занимают определенные положения в пространстве. Для различения состояний нами будут использованы символы типа to, t, f. Величины, понимаемые под этими символами, могут быть дискретными (как, нг при-мер, в случае конечного числа состояний упругого тела) или могут заполнять непрерывную область (как и течении жидкости, когда переменная t обычно означает время). Изменение состояния to t будет называться деформацией, когда имеются только два состояния, и течением, когда имеется непрерывная область состояний, а вещество является жидкостью. [c.32] Вернуться к основной статье