ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование задач о стационарном значении из "Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек " В данной главе изложены общие вопросы теории преобразования вариационных проблем, которая позволяет выделить общие и частные вариационные принципы и теоремы и установить между ними эквивалентную взаимосвязь. Эта глава служит теоретической основой для исследования вариационных принципов теорий упругости и оболочек в гл. 3 и 4. [c.27] Основные положения механики могут быть сформулированы в трех эквивалентных формах в виде дифференциальных уравнений, или интегральных уравнений, или вариационных принципов. [c.27] За всем комплексом зависимостей и уравнений теории упругости скрывается общий вариационный принцип, заключающий в себе смысл всей совокупности уравнений и граничных условий данной теории. Аналогичное утверждение справедливо и для теории оболочек, пластин, стержней, а также для систем, составленных из них. [c.27] Выявление этого общего принципа может быть основано на теории преобразования вариационных проблем, разработанной Р. Курантом и Д. Гильбертом [0.9]. Эта теория позволяет поставить в соответствие друг другу различные функционалы с дополнительными условиями и построить полный функционал без каких-либо дополнительных условий, из которого как частные случаи могут быть получены все возможные функционалы с дополнительными условиями и сформулированы частные вариационные принципы. [c.27] Совокупность полей перемещений, деформаций и напряжений (усилий) назовем основным пространством состояний. Его можно представить как прямую сумму линейных пространств перемещений, деформаций и напряжений, т. е. как множество точек и, е, о) с покомпонентными операциями сложения и умножения на число. [c.28] Можно также выделить квазиосновное пространство состояний ф, о, е , представляющее собой совокупность полей функций напряжений, напряжений и деформаций. Квазиосновное пространство в некотором смысле симметрично основному. [c.28] Могут быть рассмотрены усеченные (частные) пространства, являющиеся некоторой частью основного пространства (подпространством). Усеченные пространства могут быть смешанными, т. е. содержать только некоторые компоненты вектора перемещений и тензоров напряжений и (или) деформаций, функций напряжений. [c.28] Подпространство (усеченное пространство) часто бывает определено системой уравнений. При этом особую роль в теории Куранта — Гильберта играют уравнения, являющиеся дополнительными условиями к функционалам. [c.28] Расширенное пространство состояний может быть получено как из основного, так и из его подпространств за счет введения вспомогательных элементов. [c.28] Пространство состояний может быть, кроме того, преобразовано линейной заменой переменных в ряд других, изоморфных ему. При этом преобразуются и функционалы, и дополнительные условия (если они имеются), так что получаются разные эквивалентные формулировки одной и той же задачи в одинаковых (изоморфных) пространствах. Такие преобразования показаны на примере функционалов Эп2 и Эп4а (гл. 3 и 4). [c.29] Все вариационные принципы и соответствующие функционалы, рассматриваемые в гл. 1—4, представляется целесообразным разделить на два класса полные и частные. [c.29] Функционалы, для которых вариационная задача формулируется без дополнительных условий, охватывая все компоненты полей выбранного пространства состояний, будем называть полными функционалами. Полный функционал является наиболее общей энергетической характеристикой данной системы, выраженной через все компоненты выбранного пространства состояний. Общность состоит, во-первых, в том, что из полного функционала могут быть получены все возможные частные функционалы в данном пространстве и, во-вторых, в том, что его достаточно для определения всех компонентов полей, т. е. для полного решения задачи в данном пространстве состояний. [c.29] Функционалы, для которых вариационная задача формулируется с дополнительными условиями (опре деляющими подпространство в выбранном простран стае состояний), назовем частными функционалами Частные функционалы получаются из полных пу тем наложения дополнительных условий на некото рые компоненты данного пространства состояний (см 2). Они являются некоторыми энергетическими ха рактеристиками системы в усеченных пространствах Таким образом, в выбранном пространстве состоя ний понятия полного и частного функционалов строго определены и имеют абсолютный характер. При переходе от одного пространства к другому эти понятия становятся относительными. Полный функционал, определенный в некотором пространстве, можно рассматривать как частный в расширенном пространстве он является частным (менее общим) по отношению к полному функционалу в расширенном пространстве. [c.30] Например, функционал Рейсснера (гл. 3) является полным в пространстве перемещений и напряжений и частным в пространстве перемещений, деформаций и напряжений (по отношению, например, к полному функционалу Ху —Вашицу). Функционал Лагранжа Эл2(и, е)—частный в любом пространстве, содержащем поля перемещений и деформаций. [c.30] Общий вариационный принцип. Истинные поля параметров напряженно-деформированного состояния системы отличаются от всех других полей в данном пространстве состояний тем, что полный функционал имеет стационарное значение. [c.30] Например, применительно к основному пространству состояний общий вариационный принцип читается так истинные поля перемещений, деформаций, напряжений (усилий) системы таковы, что полный функционал имеет стационарное значение. [c.30] Если полный функционал определен в усеченном пространстве (например, функционал Рейсснера — в пространстве перемещений и напряжений), то истинные значения недостающих параметров напряженно-деформированного состояния (в данном примере — поля деформаций) в случае необходимости могут быть определены с помощью зависимостей, связывающи.ч полный функционал в усеченном пространстве с каким-либо полным функционалом в основном пространстве. Эта часть расчета является вторичным этапом (обработкой). [c.31] В случае расширенного пространства состояний стационарному значению полного функционала в этом пространстве соответствуют, кроме истинных полей перемещений, напряжений и деформаций, еще некоторые поля вспомогательных величин, которые дополняют основное пространство до расширенного. Примером здесь служит функционал Эп4(м, е, а, ц) (гл.З, 3.1), зависящий не только от и, е, а, но и от вспомогательных величин X, ц. [c.31] Общая вариационная теорема. Полный функционал имеет в качестве уравнений Эйлера и естественных граничных условий полный комплекс уравнений и граничных условий данной теории, выраженных через компоненты соответствующего пространства состояний. [c.31] Иными словами, полный функционал содержит в необходимой и достаточной мере всю информацию о данной теории и классе задач в используемом пространстве состояний, так что для их решения не требуется каких-либо дополнительных условий. [c.31] Вернуться к основной статье