ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ряды Фурье из "Введение в фурье-оптику " В этой главе мы рассмотрим замечательный факт, состоящий в том, что дифракционная картина, создаваемая решеткой, представляет собой проявление, почти физическое воплощение, тех гармоник, которые составляют математическое описание структуры решетки. [c.50] Дифракция является промежуточной стадией в формировании оптического изображения. Это означает, в частности, что на стадии дифракции мы можем путем расчета управлять процессом образования изображения. Указанное обстоятельство определяет многие аспекты оптической обработки (гл. 5). Другим главным следствием стала разработка методов определения атомной структуры кристаллов независимо от их сложности по результатам рентгеновской дифракции. [c.50] 4 соотношения, относящиеся к периодическим структурам, распространяются также и на непериодические. Но сначала о некоторых свойствах рядов Фурье (разд. 3.2 и 3.3) и их связи с дифракцией на непериодических структурах (разд. 3.4). [c.50] Использование рядов Фурье для представления периодической картины, такой, как оптическая структура решетки, можно проиллюстрировать рис. 3.1, а, где показано только два периода. Этот частный случай выбран оттого, что он дает возможность ясно продемонстрировать, как его можно представить рядами Фурье, а также с учетом возможности использовать его для объяснения в дальнейшем интересного примера (разд. 3.4.2). [c.50] Значения а в уравнении (3.01) являются фазами гармоник. Например, фаза 1 = я означает, что косинусный член при п = 1 сдвигается вдоль оси X на величину D/2 по сравнению с косинусоидой с нулевой фазой. [c.51] Суммирование гармоник, фурье-синтез, формально справедливо до п = 00. Практически, однако, менее сотни членов в большинстве случаев вполне достаточно, хотя можно привести примеры, когда их требуется больше. [c.51] В связи с использованием нами рядов Фурье при исследовании дифракции йолезно расширить наше представление о частотах гармоник, а также об их периодах. Подобно тому, как периодичность во времени Тсоответствует временной частоте 1/ так и период пространственной гармоники й/п соответствует пространственной частоте n/D, которая представляет собой число повторений на единице масштаба картины. [c.52] Выражение для постоянного члена AJ2 является просто средним значением /(х) по всему единичному отрезку картины с периодом D. Этим подтверждается и количественно определяется полученное в разд. 3.2 заключение, что А /1 представляет собой постоянную величину, на которую сумма должна подняться над осью х, чтобы достигнуть соответствующей высоты профиля/(х). [c.53] Член при п = О тот же, что и раньше. Для других значений коэффициенты образуют пары (1/2) А+ и (1/2) А , члены которых равны [ os (- х) = os (-Ь х)] и имеют одинаковые пространственные частоты. Следовательно, они складываются, давая ту же амплитуду гармоники, как и в случае, когда имелись только положительные значения п. Отсюда следует, что уравнение (3.03) дает коэффициенты (1/2) и в уравнении (3.04) для всех п, т.е. [c.54] Приведение ряда к форме, где представлены пары гармоник с амплигу-дой, равной половине первоначальной, но с учетом как отрицательных, так и положительных значений п, вовсе не случайно. В следующем разделе показано, что этим парам гармоник физически соответствуют пары дифракционных максимумов порядка п, определяемые решеткой. [c.54] Общие выражения /(х) для случая нечетной функции приведены в разд. 3.5. [c.54] Решетка, апертурная функция (или, как мы ее назвали, оптическая структура) которой представлена функцией /(х) на рис. 3.3, а, имеет щели шириной а и период повторения D. Амплитуда освещенности на щелях (постоянная) равна h. [c.54] Приведенные выше сообр ения применимы практически к любому типу апертурной функции, хотя огибающая коэффициентов, как правило, не является sin -функцией. [c.55] По этим причинам плоскость дифракционной картины называют фурье-плоскостью (или фурье-пространством), или, иначе, плоскостью (областью) частот (пространственных). Кроме того, как впервые отмечено в гл. 2, можно также использовать термин взаимное пространство ввиду существования соотношения взаимности между масштабом дифракционной системы и создаваемой ею картиной. Каждая из этих интерпретаций имеет свои специфические особенности и область применения, например частотное пространство , широко используется в обработке оптических данных (разд. 5.5). [c.56] Сравнение с уравнением (3.05) показывает, что эти значения амплитуд дифракции пропорциональны амплитудам гармонических членов фурье-разложения распределения плотности электронов между отражающими плоскостями в кристаллической структуре. [c.56] Замечания в конце предьщущего раздела, касающиеся способов описания пространства, в котором образуется дифракционная картина, в равной степени применимы и здесь. Понятие взаимного пространства особенно полезно в рентгеновской кристаллографии. [c.57] Читатель может убедиться, что для четной функции все Ь = О и аналогично для нечетной функции все о = 0. [c.58] Экспоненциальное представление ряда для /(х) включает только эти два члена, а именно члены, для которых и = + 5 с коэффициентами 1/2. [c.59] Аналогично если/(х) = sin (2я5х/ ), то только члены с п = + 5 не равны нулю, а коэффициенты соответственно равны l/2i. Рис. 3.5 показывает эти два примера в графическом виде. [c.59] Уравнение (3.13) было получено из уравнения (3.01), т.е. при действительной /(х), когда мнимые члены, возникают только таким образом. [c.59] Вернуться к основной статье