ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрия масс твердого тела из "Классическая механика " Теорема (Гюйгенса —Штейнера). Момент инерции тела Ji относительно произвольной оси I равен моменту инерции тела Jq относительно оси, параллельной I и проходящей через центр инерции С, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями, т. е. [c.174] Этот член равен нулю в связи с тем, что по построению ось z проходит через начало координат, и следовательно, координата г/с центра инерции равна нулю. Теорема Гюйгенса— Штейнера доказана. [c.175] Теорема Гюйгенса — Штейнера удобна в том отношении, что она позволяет использовать приведенные в справочниках моменты инерции типичных фигур и тел относительно стандартных осей, проходящих через центр инерции, для вычисления моментов инерции относительно других осей, параллельных стандартным. Теорема эта не помогает, однако, вычислить моменты инерции относительно осей, образующих заданные углы со стандартными. Поэтому естественно возникает вопрос о том, как меняется момент инерции при повороте оси. [c.175] Рассмотрим систему декартовых координат х, у, z к предположим, что моменты инерции тела относительно этих осей заданы. Пусть, далее, задана ось I, полностью ориентированная относительно осей X, у, Z (рис. V.3). Говоря, что ось полностью ориентирована относительно системы координат, мы утверждаем тем самым, что задан ее орт е, т. е. заданы направляющие косинусы. Обозначим их (именно направляющие косинусы, а не углы ) через а, р и V соответственно. Требуется по заданным моментам инерции относительно осей х, у, z и направляющим косинусам а, р, у определить моменты инерции относительно оси I. [c.175] В ЭТОМ смысле существуют не три, а шесть центробежных моментов инерции для данной системы координат х, у, г, но они попарно равны между собой в силу симметрии формул (24). [c.176] Тензор инерции — важнейшая характеристика твердого тела. [c.177] Свяжем теперь с тензором инерции удобный геометрический образ. Выберем произвольную систему координат х, у, z я произвольно ориентированное в этой системе направление оси I с ортом е. Отложим вдоль оси / из начала координат отрезок OjV, равный 1/1/7/ (рис. V.4). Пусть х, у, г —координаты точки N. Найдем уравнение геометрического места точек М для всех возможных осей /. [c.177] Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178] Таким образом, для данного тела с каждой точкой пространства связывается геометрический образ — эллипсоид, который изменяется при переходе от одной точки пространства к другой. [c.178] Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179] Таким образом, основная характеристика геометрии масс — тензор инерции тела — позволяет ввести две важные характеристики распределения масс тела по отношению к рассматриваемой точке пространства первой характеристикой является эллипсоид инерции, построенный в этой точке, второй— связанная с ним система главных осей инерции. При переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняются как эллипсоид инерции, так и направления глав-, ix осей. Разумеется, существует исключительный случай, когда главными осями инерции являются любые ортогональные оси, про Денные через рассматриваемую точку,— такой случай имеет место, когда эллипсоид инерции в точке является сферой. [c.179] Сделаем теперь несколько замечаний, касающихся главных осей и моментов инерции. [c.179] В таких случаях говорят, что ось 2 (а не вся система координат ) является главной осью инерции в точке О. Вообще, если два центробежных момента инерции равны нулю, а третий отличен от нуля, то ось, соответствующая общему индексу равных нулю центробежных моментов инерции, называется главной осью инерции в точке О. [c.180] Указанные выше рассуждения оправдывают наименование главная ось инерции для отдельно взятой оси. [c.181] Замечание 3. Если у тела есть ось материальной симметрии, то она является главной центральной осью инерции этого тела. [c.181] Замечание 4. Если в теле есть плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью для точки, в которой эта прямая пересекает плоскость материальной симметрии. [c.182] Если В некоторой точке можно указать три главные оси инерции такие, что через любые две из них нельзя провести плоскость, перпендикулярную третьей, то эллипсоид инерции для этой точки заведомо является сферой ). Иногда это можно обнаружить, используя настоящее замечание. [c.182] Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183] Замечание 5. Для однородных тел враш,ения ось враш,ения и любые две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные ей прямые образуют систему главных осей инерции. Действительно, ось враш,ения всегда является осью материальной симметрии и поэтому в силу замечания 3 является главной осью инерции. Для тела вращения любая плоскость, проходящая через ось вращения, является плоскостью материальной симметрии. Выберем поэтому на оси вращения произвольную точку и проведем через нее две взаимно перпендикулярные прямые, перпендикулярные оси вращения. Проводя затем поочередно плоскости через ось вращения и каждую из этих прямых, убеждаемся, что в силу замечания 4 вторая прямая, перпендикулярная проведенной плоскости, является главной осью инерции. Утверждение доказано. [c.183] Вернуться к основной статье