ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод условных решений из "Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов (БР) " В этих точках потенциальная энергия деформации U = F (и) du достигает относительных минимумов (рис. 3.7). [c.75] Численное решение уравнения (3.71) удобно выполнять полу-обратным методом, вычисляя интенсивность s по заданным значениям й. На рис. 3.8 показаны зависимости математического ожидания й и дисперсии от интенсивности внешнего воздействия s при таких сочетаниях параметров нелинейности а и 6, которые допускают три положения равновесия в статическом случае. Как видно на графиках, приближенное решение задачи получается неоднозначным в определенной области изменения параметра интенсивности s. [c.77] С увеличением интенсивности воздействия появляются еще два решения. Одно из них (й = uj характеризует класс движений с охватом обоих устойчивых положений равновесия. Другое решение (й = й ) соответствует неустойчивым промежуточным режимам. Дальнейшее увеличение параметра нагрузки s приводит сначала к трем,, а затем к одному решению для математического ожидания й и дисперсии Oq. При высокой интенсивности воздействия особенности нелинейной характеристики системы слабо влияют на поведение всего статистического ансамбля. [c.78] Приведенное истолкование неоднозначных ветвей решения вполне отвечает представлениям о существовании различных устойчивых режимов в существенно нелинейных колебательных системах с несимметричными характеристиками. Однако с точки зрения теории вероятностей такая трактовка неудовлетворительна. Действительно, при наличии широкополосного случайного воздействия типа белого шума происходит перемешивание различных режимов колебаний, так что статистические характеристики выходного процесса должны являться оценками для всего ансамбля реализаций в целом. Решение стохастической задачи должно быть единственным, что и вытекает из точного соотношения (3.65). [c.78] Коэффициент aft имеет смысл вероятности гипотезы, при которой реализуется k-e решение. [c.78] При определении вероятностей необходимо учитывать, что некоторые условные решения могут соответствовать неустойчивым стационарным режимам. Вопрос о выделении устойчивых и неустойчивых ветвей среди условных решений будет подробно рассмотрен в пятой главе. Здесь мы ограничимся чисто топологическими соображениями. Предположим, что параметр интенсивности воздействия s мал. В этом случае гауссовское приближение приводит к трём решениям для математического ожидания й. Два значения Hi и щ мало отличаются от координат двух устойчивых положений равновесия нелинейной системы и = Ui и и == = щ. Будем квалифицировать соответствующие статистические решения как устойчивые. Третье промежуточное решение которое соответствует неустойчивому положению равновесия и = = 3, будем рассматривать как физически неосуществимое, принимая вероятность гипотезы з равной нулю. Таким образом, ансамбль реализаций в результате приближенного решения разделяется на три подкласса, два из которых (й , 2) характеризуют движения в окрестностях устойчивых положений равновесия. [c.79] При увеличении параметра интенсивности s появляются еще две ветви и йа. Одно из этих решений ( 4) характеризует класс устойчивых колебаний с охватом обоих положений равновесия. Другое решение (щ) относится к неустойчивым промежуточным режимам, и, следовательно, соответствующая им вероятность aj равна нулю. [c.79] Из приведенного примера следует, что гауссовское приближение в сочетании с методом условных решений позволяет вскрыть основные качественные особенности поведения нелинейной стохастической системы и получить удовлетворительные количественные оценки. Отказ от гипотезы гауссовости и построение решения в виде ряда с использованием вариационного принципа приводит в рассмотренном примере к повышению точности результатов, как и для систем с симметричными характеристиками. [c.81] Вернуться к основной статье