ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод множителей Лагранжа из "Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов (БР) " Постановка вариационных задач статистической динамики позволяет создать ряд эффективных приближенных методов исследования случайных колебаний нелинейных систем. Основное направление — разработка прямых методов, сводящих вариационную задачу к задаче на экстремум функций нескольких переменных. [c.57] Принцип максимума энтропии стационарного состояния динамической системы под действием случайных сил приводит, как показано выше, к изопериметрической вариационной задаче. В качестве дополнительных условий выступают моментные соотношения, образующие в общем случае бесконечную связанную систему уравнений. Для. построения приближенного решения естественно использовать последовательность усеченных систем. [c.57] Рассмотрим вначале применение метода неопределенных множителей Лагранжа при ограниченном числе моментных соотношений. Для пояснения методики воспользуемся простейшим примером, приводящим к распределению Больцмана. [c.57] В предыдущей главе было построено классическое решение вариационной задачи об экстремуме энтропии при дополнительных условиях (3.2). При помощи метода множителей Лагранжа было выведено стационарное распределение, сходящееся к точному выражению. [c.57] Выясним практическую сходимость приближенного решения, которое соответствует последовательности усеченных соотношений (3.2). Для определенности примем кубический закон нелинейности. [c.57] Подставляя (3.3) в (3.2) при ft = 1, получим уравнение относительно неопределенного множителя %i. [c.58] После интегрирования относительно неопределенного множителя получается трансцендентное уравнение. [c.58] Точное решение уравнения (3.7) неизвестно. Воспользуемся для построения приближенного выражения плотности вероятности р х-1, Хг) методом неопределенных множителей Лагранжа. [c.59] приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61] Вернуться к основной статье