ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоская задача термоупругости из "Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций (БР) " Рассмотрим квазистатическую двумерную задачу термоупругости для обобщенного плоского деформированного состояния при заданном распределении температурной деформации и определенных условиях закрепления или нагружения торцов цилиндрического тела. Пусть оси atj и декартовых координат лежат в плоскости поперечного сечения тела. Примем 833 = onst. Тогда перемещение вдоль образующей цилиндрического тела = 33 3. В частном случае неподвижно закрепленных торцов e-gg = О и 3 = О, а в общем случае 633 подлежит определению из условий закрепления или нагружения торцов. [c.227] Потенциал перемещений Ф связан с компонентами перемещений соотношениями Uf = Ф, , и любое частное решение (6.36) позволяет учесть неравномерное распределение температуры в поперечном сечении тела. После определения соответствующих этому частному решению контурных перемещений и напряжений можно перейти к решению обычной задачи теории упругости. Полное решение задачи термоупругости тогда выражается через частное решение (6.36) и решение задачи теории упругости [5]. В некоторы случаях этот путь приводит к получению аналитических выражений для перемещений и напряжений. [c.228] Однако возможности аналитического решения задачи термоупругости для области сложной геометрической формы при произвольном распределении температуры и зависимости от температуры и координат механических характеристик материала ограничены, и приходится обращаться к численным методам решения. Рассмотрим сначала применение МКЭ к решению задачи термоупругости в перемещениях для обобщенной плоской деформации. [c.228] Здесь — матрица 2Л/ х 1 (вектор-столбец) узловых значений перемещений uij и u j, j = 1, 2. N -, jV — общее число узлов [К] и Р) — квадратная симметричная матрица жесткости и матрица 2Л , Х1 (вектор-столбец) нагрузок, компоненты которых получаются суммированием вкладов отдельных элементов. [c.230] Компоненты матрицы [/С1, расположенные на главной диагонали, должны быть положительны, а сумма компонентов в строке — равной нулю. Матрица жесткости имеет ленточную структуру, причем ширина ленты, включающей ненулевые компоненты матрицы, зависит от способа нумерации узлов и в каждом конкретном случае может быть сведена к минимуму [45]. Это позволяет экономить память ЭВМ, расходуя ее для хранения не всей матрицы, а лишь элементов ленты. [c.231] Далее по (6.31) можно определить компоненты тензора напряжений. Так как температурная деформация и упругие характеристики материала тела в общем случае изменяются в пределах элемента, компоненты тензора напряжений также будут зависеть от координат точки М 6 Fy. На границах между элементами расчетные значения напряжений будут терпеть разрыв. [c.232] Такое представление деформированного состояния используется, например, при расчете неравномерно нагретых турбинных лопаток под действием центробежных сил и поперечных нагрузок со стороны потока рабочего тела турбины [48]. При решении подобной задачи при помощи МКЭ также целесообразно задаваться и последовательно уточнять значения 8°з, х, и Возможно также определение этих значений и перемещений и в узлах конечно-элементной сетки за один прием. Но практически это менее удобно, так как матрица жесткости утрачивает ленточную структуру, поскольку в строках и столбцах, соответствующих неизвестным значениям е°з, и не будет нулевых компонентов. [c.233] Для решения плоской задачи термоупругости при помощи МКЭ помимо треугольных элементов с линейной аппроксимацией функций можно использовать элементы более высокого порядка [15, 45]. Если упругие характеристики материала тела в пределах его поперечного сечения допустимо принять постоянными, то для решения этой задачи можно применить и МГЭ. [c.233] Для диагональных компонентов матрицы [Я] справедливо (6.48), а для компонентов вектора В — (6,47). [c.237] Распределения Ui [N) и pi (N) в пределах граничных элементов можно аппроксимировать и более сложными, чем линейные, зависимостями, причем целесообразно pi (N) аппроксимировать полиномом степени на единицу меньше, чем (N), так как pi (N) выражается через первые производные от Ui [6]. [c.238] Вернуться к основной статье