ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Экстремальные принципы для жестко-пластического тела из "Теория пластичности " Здесь S — вся поверхность деформируемого тела, так что это соотношение справедливо для тела в целом, включая и его пластически недеформируемые области 2р — поверхности разрыва скоростей (их может быть несколько). [c.294] В заключение напомним, что на поверхностях разрыва скоростей в жестко-пластической среде = т . [c.296] Выражение в левой части этого неравенства называется полной мощностью, обозначим ее М . Она имеет различные значения для разных кинематически возможных полей скоростей. Правая часть выражается через действительные напряжения и скорости, поэтому имеет постоянное значение. Следовательно, доказана следующая кинематическая теорема полная мощность достигает абсолютного минимума для действительного поля скоростей Uj. Или, что то же среди всех кинематически возможных полей скоростей v ( действительным полем будет то, для которого полная мощность имеет минимальное значение. [c.297] Кроме того, статически возможная интенсивность касательных напряжений не превышает предела текучести на сдвиг, т. е. Т с т,. [c.298] Таким образом, доказана статическая теорема мощность действительных поверхностных напряжений на заданных скоростях больше мощности, развиваемой поверхностными напряжениями, соответствующими любому другому статически возможному полю напряжений. Или, что то же среди всех статически возможных полей напряжений действительным полем будет то, для которого моищость Ng имеет максимальное значение. Статическая теорема устанавливает нижнюю оценку мощности N, развиваемой действительными поверхностными напряжениями на заданных скоростях. [c.299] В соответствии с теоремой о единственности решения (см, гл. X 1.1) предельная нагрузка единственна. Для жестко-пластического тела можно принять, что предельная нагрузка не зависит от пути нагружения, т. е. конечная предельная комбинация поверхностных сил может быть достигнута различными путями. [c.299] Зададимся статически возможным полем напряжений и вычислим Ng. Тогда соответствующие Na поверхностные напряжения р и рп будут представлять собой нижнюю оценку предельной нагрузки. [c.299] Зададимся кинематически возможным полем скоростей о и вычислим полную мощность Nf). Тогда соответствующие поверхностные напряжения и р будут представлять собой верхнюю оценку предельной нагрузки. [c.300] Это условие согласованности полей напряжений и скоростей может служить проверкой правильности решения задачи. [c.300] Приведем простейший пример полного решения. Силой Р растягивается полоса с круговым отверстием (рис. 129). В главе ХИ1 было описано два кинематически возможных решения — когда линии скольжения прямые и когда они являются логарифмическими спиралями (рис. 127). Поскольку первое решение дает меньшее значение силы Р = 4т, (h — а), то в соответствии с критерием выбора оно предпочтительнее. [c.300] Рассмотрим теперь статически возможное решение. Пусть напряжения в заштрихованных на рис. 129 полосках равны а == = Og.y = О, Оу = 2т,. Центральная незаштрихованная полоска является жесткой областью, в ней все напряжения равны нулю. При этом удовлетворяются дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия (XIV. 13) на боковых поверхностях и на поверхности, ограничивающей круговое отверстие. Для выбранного поля напряжений растягивающая сила по-прежнему равна Р = 4тд (h — а). Но поскольку верхняя и нижняя оценки совпадают, полученное значение предельной нагрузки является точным. [c.300] Энергетический метод. Основан на законе сохранения энергии и рассмотренных выше экстремальных принципах. Энергетический метод называют еще методом баланса работ или просто методом работ. [c.301] Здесь и в дальнейшем при решении задач штрихи, означающие кинематически возможные поля, например v l, Н для упрощения записи писать не будем. Формулы, задающие кинематически возможное поле скоростей (или перемещений) могут содержать параметры, характеризующие, например, неоднородность деформации. Эти параметры выбираются так, чтобы предельная нагрузка была минимальной. [c.301] Если ширина деформирующего инструмента больше ашрины полосы 2fe, внешние пластически недеформируемые области отсутствуют. Такой случай имеет место, например, при свободной ковке. Рассмотрим вначале этот случай. В качестве кинематически возможного выберем однородное деформированное состояние (рис. 131, а). В этом случае контактные поверхности являются поверхностями скольжения В соответствии с правилом знаков для касательных напряжений на верхней контактной поверхности = — Xj . Боковые поверхности полосы являются поверхностями Они свободны от напряжений, так что на них р == р = 0. [c.302] Так как деформированное состояние является однородным, бочкообразова-ние (рис. 131) отсутствует, то в любой точке полосы —= onst, а = = 0 Sgz = Sij = О вследствие плоской деформации. Тогда по формуле (II1.44) найдем, что во всех точках полосы интенсивность скоростей деформаций сдвига равна Н =- —Знак — берется потому, что II по определению величина неотрицательная, а yy i 0. так как происходит сжатие в направлении толщины полосы. [c.302] Ввиду симметрии полосы относительно осей координат полную мощность левая часть (XIV.20)] найдем для одной четверти полосы (заштрихована на рис. 130). Ее объем, приходящийся на единицу длины полосы, обозначим V. [c.302] Сила осадки равна Р = 2р Г Обратим внимание на то, что Рд не зависит от t ji. Это следствие реологической модели жестко-пластической среды, когда = onst. При этом Tg усредняют по очагу деформации в зависимости от температуры, степени и скорости деформации (рис. 60). [c.303] Поскольку оба решения дают одно и то же значение рп, критерий выбора ие позволяет указать предпочтительное решение. Однако опытные картины линий скольжения заставляют отдать предпочтение решению Хилла. [c.305] Вернуться к основной статье