ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проблема необратимости макроскопических процессов из "Термодинамика, статическая физика и кинетика Изд.2 " Возникает вопрос каким образом статистическая физика, основанная на обратимых во времени законах микропроцессов, может приводить к необратимым законам макроскопических процессов, в частности, к описанию процессов релаксации и к закону возрастания энтропии в замкнутых системах. В особенно отчетливой форме этот вопрос был поставлен в связи с так называемой теоремой возврата (Пуанкаре, Цермело), согласно которой за достаточно большое время фазовая траектория в Г -пространстве, изображающая поведение системы, вернется в область, сколь угодно близкую к некоторой начальной точке этой траектории. [c.544] Доказательство этой теоремы, основанное на свойстве несжимаемости газа изображающих точек — теореме Лиувилля, — почти очевидно. Будем рассматривать такие макроскопические системы, для которых гиперповерхности постоянной энергии в Г-пространстве замкнуты и фазовый объем состояний с энергией, не превышающей Е, конечен и равен Г( ). Для реальных физических систем это условие практически всегда выполняется. Выделим внутри Г( ) малый элемент фазового объема у кГ( ) и допустим, что за единицу времени из этого объема вытекают изображающие точки, причем некая конечная доля этих точек Uy никогда не возвращается в объем у. При этом мы немедленно приходим к противоречию, так как за достаточно большое время t фазовый объем, занимаемый этими точками Uyt, станет больше Г( ) —у, что невозможно вследствие несжимаемости газа изображающих точек. Следовательно, все фазовые траектории, исходящие в начальный момент из объема у (за исключением, может быть, части траекторий, начальные точки которых образуют множество меры нуль), с течением времени должны снова и снова возвращаться в объем у, и макропроцессы так же, как и микропроцессы, казалось бы, должны быть строго обратимыми. [c.544] ГО эквивалентная уравнению Лиувилля, описывает только обратимые процессы. Необратимость макроскопических процессов возникает только на более поздних этапах в результате введения некоторых (не любых, как мы увидим ниже ) приближенных методов обрыва этой цепочки. [c.545] Таким образом, эволюция состояния макроскопической системы, абстрактно говоря, столь же обратима, как и микроскопические процессы. В частности, любое неравновесное макроскопическое состояние рано или поздно должно повториться, как бы ни бьшо велико отклонение от равновесия. Рассмотрим два примера. [c.545] В соответствии с теоремой Пуанкаре - Цермело мы можем утверждать, что спустя некоторое время первоначальное неравновесное состояние должно повторяться со сколь угодно большой точностью, т. е. в первом примере газ должен вновь собраться в одну половину сосуда, а во втором примере должен снова сформироваться пучок молекул со скоростью V. [c.545] Однако такая абстрактно теоретическая концепция, связанная с теоремой возврата, имеет для больших флуктуаций лишь весьма отдаленную связь с реальной действительностью, так как времена возврата для столь сильных отклонений от равновесия, как в двух рассмотренных выше примерах, оказываются невообразимо большими — во много 7,1 большими не только возраста Земли, но и возраста окружающей нас части Вселенной. [c.545] Ответ заключается в следующем так как уравнения механики обратимы, то необратимость возникает тогда, когда уравнения механики мы дополняем чуждыми самой механике вероятностными гипотезами. В случае уравнений Фоккера - Планка такой гипотезой является предположение о марковском характере процесса (уравнение Смолухов-ского). В выводе уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова роль такой гипотезы выполняет условие ослабления корреляций (87.17), приводящее к появлению асимметрии по отношению к отражению времени и т. д. Введение подобных гипотез теснейшим образом связано с ролью взаимодействия между частицами (в частности, с ролью столкновений). Оно является фактором, вызывающим направленную эволюцию состояния, которое описывается функцией распределения. Не случайно поэтому, что в кинетических уравнениях, при выводе которых взаимодействием частиц, в частности столкновениями, мы пренебрегаем, необратимость не возникает. Примерами подобных уравнений являются уравнение самосогласованного поля ( 89) и уравнение свободно-молекулярного течения ( 88), обратимость которых без труда обнаруживается. [c.547] Очевидно, взаимодействие частиц друг с другом и с термостатом должно быть таким, чтобы вызвать в ходе дальнейшей эволюции состояния перемешивание, т. е. переход от неравномерного распределения изображающих точек по энергетическому слою к равномерному. С необходимостью такого перемешивания мы сталкиваемся уже в традиционных задачах теории вероятностей, например, для того чтобы вероятность вытаскивания любой карты из колоды была одинаковой, колода должна быть предварительно перетасована. [c.548] Необходимость перемешивания в задачах статистической физики была с большой глубиной подчеркнута в работах Н. С. Крылова [46]. В частности, в этой работе было показано, что, рассматривая процесс размешивания , мы получаем возможность естественным образом ввести и оценить время релаксации как тот промежуток времени, в течение которого достигается равномерное растекание изображающих точек по гиперповерхности постоянной энергии или по энергетическому слою. Мы лишены возможности в этой книге сколько-нибудь детально рассматривать содержание работы Н. С. Крылова и ограничимся, следуя [46], иллюстрацией его идей на примере идеального газа. [c.548] Будем считать молекулы твердыми шариками радиуса го и рассмотрим столкновение двух молекул в системе отсчета, в которой вторая молекула неподвижна (рис. 114). [c.548] Таким образом, телесный угол, задающий неопределенность ЪМ-мерного импульса, растет со временем по экспоненциальному закону. Фазовые траектории, исходившие первоначально из малой области фазового пространства, точнее говоря, из малой площадки гиперповерхности постоянной энергии, очень быстро удаляются друг от друга и заполняют приблизительно равномерно всю эту гиперповерхность. Согласно теореме Лиувилля при этом сохраняется первоначальный фазовый объем. При этом гиперповерхность постоянной энергии окажется сначала грубо, а затем все более мелко изрезанной фазовыми траекториями. За некоторое характерное для релаксации время, весьма малое по сравнению с временем возврата по Пуанкаре (см. ниже), вероятности нахождения изображающей точки в равных участках этой гиперповерхности станут одинаковыми. [c.549] Мы можем определить время релаксации по импульсам, или время размешивания в пространстве импульсов, как время, за которое изображающие точки растянутся по всей сфере постоянной энергии в пространстве импульсов, т. е. телесный угол АЙ станет по порядку величины равным полному телесному углу Йзд/ = 2ле ЪN) (см. (XIII. 13)). [c.549] Для того чтобы оценить величину АЙ рассмотрим ЗЛ -мерную сферу с радиусом Р в пространстве импульсов, где = р + р +. ..+ средний квадрат импульса одной частицы. [c.549] Вопрос, поставленный перед наукой фактом отсутствия термодинамического равновесия в наблюдаемой части Вселенной, не может считаться в настоящее время разрешенным, и мы изложим только одну попытку его решения. [c.553] Эта гипотеза, объясняющая, почему во Вселенной не устанавливается состояние термодинамического равновесия, была предложена И. Р. Плоткиным [47] и заключается в следующем. Микросостояния Вселенной и любой ее бесконечной части образуют бесконечное счетное множество, так как каждое микросостояние мы можем задавать как ячейку /г-пространства и произвольным образом пронумеровать эти ячейки. Ниже будет показано, что множество всех микросостояний системы, задаваемых числами заполнения N, N2,. .. ячеек /г-прост-ранства, также бесконечно, но имеет мощность континуума, т. е. эквивалентно непрерывному множеству всех вещественных чисел произвольного интервала а, Ь. [c.553] Благодаря конечности скоростей системы она находится в каждом микросостоянии конечное время. Отсюда следует, что даже за бесконечное время существования Вселенная не может пройти через все мыслимые состояния более того, она может побывать лишь в ничтожной доле всех возможных состояний. Отсюда следует, что нельзя говорить о более или менее вероятных состояниях Вселенной, так как эти состояния не повторяются и понятие термодинамического равновесия как наиболее вероятного состояния Вселенной лишено смысла. Эволюция Вселенной не является направленным, поступательным процессом, а представляет собой скорее беспорядочную смену одних состояний другими. [c.553] Вернуться к основной статье